Abstract
Summenformeln, allen voran die Gauß’sche Summenformel \(\sum_{i=1}^{n}i=\frac{n}{2}(n+1)\), gehören zum Grundwissen eines jeden Mathematikers. Wir wollen in dieser Arbeit Verallgemeinerungen der Gauß’schen Summenformel der Form \(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}j\) betrachten, wie sie die Anzahl der Gläser in einer Champagnerpyramide der Höhe \(n\) beschreibt. Im Hauptteil der Arbeit werden wir die allgemeine Formel \(\sum_{n_{k-1}=1}^{n_{k}}\sum_{n_{k-2}=1}^{n_{k-1}}\ldots\sum_{n_{2}=1}^{n_{3}}\sum_{n_{1}=1}^{n_{2}}n_{1}=\binom{n+k-1}{k}\) für die Anzahl der Gläser in einer \(k\)-dimensionalen Pyramide der Höhe \(n=n_{k}\) herleiten und beweisen.
Literatur
von Waltershausen, W.S.: Gauss zum Gedächtnis. S. Hirzel, Leipzig, S. 12 (1856)
Nelsen, R.B.: Beweise ohne Worte. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg, S. 85 (2016)
Fröhlich, S.: Summen- und Produktformeln in der Mathematik. Johannes Gutenberg-Universität, Mainz, S. 6 (2013)
Deza, E., Deza, M.M.: Figurate Numbers. World Scientific, Singapur (2012)
Meschkowski, H.: Unendliche Reihen. Bibliographisches Institut, Berlin, S. 11 (1982)
Faulhaber, J.: Academia Algebræ, Darinnen die miraculosische Inventiones zu den höchsten Cossen weiters continuirt und profitiert werden. Johann Remmelins, Augspurg (1631). bey Johann Ulrich Schönigk
Forster, O.: Analysis 1, Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Springer Spektrum, Wiesbaden (2016)
Königsberger, K.: Analysis 1. Springer, Berlin, Heidelberg (2004)
Cassels, J.W.S.: Local fields. Cambridge University Press, Cambridge, S. 6 (1986)
Aigner, M., Ziegler, G.M.: Kap. 25 und 30. In: Das BUCH der Beweise. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg (2015)
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Die Arbeit des Autoren wurde durch ein Stipendium der Hanns-Seidel-Stiftung e.V. (HSS) aus Mitteln des Bundesministeriums für Bildung und Forschung (BMBF) gefördert.
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Baumann, M.H. Die k-dimensionale Champagnerpyramide. Math Semesterber 66, 89–100 (2019). https://doi.org/10.1007/s00591-018-00236-x
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