骨折是一种常见的身体损伤，其愈合过程涉及复杂的组织、细胞和分子层次生物学活动，且受力学和生物学因素的影响。近年来，数值模拟方法在探索骨折愈合机制、设计骨折固定装置和发展新型治疗策略等方面均有广泛的应用。本文主要介绍模拟骨折愈合的数值方法及其最新的研究进展，帮助人们更好地了解骨折愈合的机制，同时也期望能对未来骨折愈合的数值模拟研究提供方向和指导。首先，介绍骨折愈合的生物学过程及其与力学刺激和生物学因素的关系，然后侧重总结了用于模拟骨折愈合的数值模型（包括力学调控模型、生物学调控模型和力学生物学耦合调控模型）以及实现骨折愈合的数值建模方法（主要包括基于代理的技术和模糊逻辑控制方法），最后对骨折愈合数值模拟研究的发展方向进行初步展望。
引用本文： 付瑞森, 杨海胜. 骨折愈合的数值模拟方法. 生物医学工程学杂志, 2020, 37(5): 930-935. doi: 10.7507/1001-5515.202004010 复制
引言
随着世界人口老龄化问题的日益加剧和交通事故量的不断攀升，骨折病例呈现逐年增加的趋势[1-2]。针对骨折的治疗，尽管目前临床上已经有相对成熟的治疗策略，然而据报道，仍有大约 5%～10% 的骨折病例出现延迟愈合或不完全愈合的情况[3-4]，例如大段骨缺损、骨质疏松性骨折或与遗传因素密切相关的骨折等[5-6]。因此，深入了解骨折愈合的机制和影响因素对制定和优化骨修复的策略有重要的意义[7]。
骨折愈合的过程涉及复杂的组织、细胞和分子层次生物学活动，且受力学和生物学因素的影响[8]。通常，以患者为对象的临床研究周期较长，而动物实验也存在重复性差和条件不易控制等局限性。相反，利用数值模拟方法可以定量分析力学刺激或生物学因素与骨折愈合过程中组织分化、生长之间的定量关系，进而揭示骨折愈合机制并明确影响愈合效果的关键因素[9]。近年来，数值模拟方法在探索骨折愈合机制、设计骨折固定装置和发展新型治疗策略等方面均有广泛的应用[7, 10]。但是，数值模拟方法也存在局限性，需要与活体实验结合来验证其准确性和合理性，进而指导临床应用[7]。
本文主要介绍模拟骨折愈合的数值方法及其最新的研究进展，帮助人们更好地了解骨折愈合的机制，同时也对未来骨折愈合的数值模拟研究提供方向和指导。本文首先介绍骨折愈合的生物学过程及其与力学刺激和生物学因素的关系，然后侧重总结了用于模拟骨折愈合的数值模型（包括力学调控模型、生物学调控模型和力学生物学耦合调控模型）以及实现骨折愈合的数值建模方法（主要包括基于代理的技术和模糊逻辑控制方法），最后对骨折愈合数值模拟研究的发展方向进行初步展望。
1 骨折愈合过程及关键调控因素
骨折愈合是一个复杂的生物学过程，愈合形式通常分为一期愈合和二期愈合[3]。一期愈合主要出现于骨折断端间隙较小或绝对固定的条件下，骨折断端通过膜内成骨发生直接愈合，通常没有任何外部组织（骨痂）形成[3, 11]。当骨折断端间隙较大且可发生相对位移，即间隙运动（interfragmentary movement，IFM）时，就会出现二期愈合[3, 8]。二期愈合是最常见的骨折愈合形式，通常分为三个阶段：炎症、修复和重塑[9, 12]。当骨折发生后，在骨折部位会出现炎症物质的积累进而形成血肿，为之后愈合过程中的细胞活动和组织分化提供适宜的生理环境[13]。一旦骨折断端周围开始形成骨和软骨，愈合即进入修复阶段。新骨最初在现有皮质骨上通过膜内成骨形成。同时，骨痂在骨折断端及其周围通过软骨内成骨形成。软骨的形成通常始于皮质骨末端处并呈放射状延伸。最终软骨钙化，使新骨得以长入。一旦骨痂形成骨桥接并重新连接骨折断端，之后骨重塑过程占主导地位。组织较少的编织骨逐渐被更成熟的板层骨所取代，最终骨折部位逐渐恢复到原有的骨强度和功能[9]。在二期愈合中，力学和生物学因素均起主导作用。
1.1 力学刺激在骨折愈合过程中的作用
力学刺激在骨折愈合中发挥着重要的调控作用。骨折愈合过程中的细胞迁移、细胞/组织分化和生长因子的释放等都受力学环境的影响[7]。Isaksson[9]指出骨痂中局部应变场（大小和分布）是调节组织分化的主要因素，而局部应变场由骨折的类型、间隙大小以及骨折端 IFM 的大小、方向和历程决定。Wang 等[14]研究发现，较小的间隙可以加速愈合进程，而较大的间隙可能会导致愈合延迟。IFM 的大小由外部载荷大小和固定器的稳定性/刚度决定[15-16]。一些研究发现对骨折部位施加动态载荷具有促进愈合的积极作用[16-17]。Wilson 等[18]研究了固定器刚度对骨折愈合的影响并发现，持续且较高的固定刚度会产生最快和最直接的愈合，而持续较低的固定刚度会导致愈合缓慢甚至出现不愈合的现象。另外，IFM 的方向也会影响骨折愈合的进程。适度的轴向 IFM 可以刺激骨痂的形成，对愈合过程具有积极的促进作用。与轴向运动相比，间隙内的剪切运动对骨折愈合的作用效果仍存在争议。一些研究显示剪切运动可以起到促进愈合的积极作用，而另外一些研究认为剪切运动会抑制骨折愈合[9]。导致这些结论不一致的原因可能是由于剪切运动对时间、大小和间隙大小的敏感性不同。
1.2 生物学因素在骨折愈合过程中的作用
除了力学刺激因素外，生长因子等生物学因素对骨折愈合也具有重要的调控作用[12]。多种生长因子通过调节细胞增殖、迁移和分化等细胞活动参与骨折愈合过程，如转化生长因子-β（transforming growth factor-beta，TGF-β）、骨形态发生蛋白（bone morphogenetic protein，BMP）和血管内皮生长因子（vascular endothelial growth factor，VEGF）等。TFG-β 在软骨和骨组织的分化和形成中发挥关键作用，可以促进间充质干细胞（mesenchymal stem cell，MSC）、成纤维细胞、软骨细胞、成骨细胞的细胞活性，并抑制破骨细胞的细胞活性[7]。BMP 是细胞迁移、分化、分裂和基质合成的生物信号。临床上通过引入 BMP-2 和 BMP-7 可以缩短骨折愈合时间并提高骨折愈合质量[7]。VEGF 是影响血管生成的重要因子。越来越多的研究表明，骨折愈合过程中血管生成与骨修复密切相关。血液除了向细胞提供氧气和营养物质外，也是细胞分化的“调节器”。局部组织的再生需要足够的血液供应[19-20]。血液供应良好的部位愈合较快，反之会出现愈合速度缓慢甚至发生不愈合或缺血性骨坏死的情况[20]。除了上述生长因子外，氧供应在骨折愈合过程中也起着重要作用。低氧环境能够促进软骨形成，而骨组织通常在高氧环境中更容易形成[21]。
2 模拟骨折愈合的数值模型
利用数值模拟可以定量地描述骨折愈合的动态过程，并且通过探究力学和生物学因素与骨折愈合之间的关系，能够更好地理解骨折愈合的力学生物学机制[22-23]。通常，骨折愈合的模拟是从对骨折初始部位的建模开始；利用有限元分析方法计算骨痂区域诸如应力、应变、压力和流体速度等力学刺激参数；随后，将这些力学刺激参数与生物学参数耦合，用于描述细胞活动和组织变化的过程；最后，经过多次迭代计算，并在每次迭代中更新组织类型、材料属性和几何形状，直至达到最大迭代步或满足终止判定条件时，迭代终止。目前常用于模拟骨折愈合的数值模型主要有三种类型：① 力学调控模型（仅考虑力学环境和愈合过程）；② 生物学调控模型（仅考虑生物学因素和愈合过程）；③ 力学生物学耦合调控模型（考虑生物学因素、力学环境和愈合过程）。本文总结了近年来骨折愈合数值模拟的最新研究，包括各自用到的调控模型、力学刺激调控参数、所考虑的生物因素、建模方法和组织分化理论等，如表 1 所示，对于相关骨折愈合数值模拟的较早研究，可参考 Borgiani 等[5]、Ghiasi 等[7]和 Isaksson[9]论文。
表1
骨折愈合数值模拟的相关研究总结
Table1.
A summary of relevant studies on numerical simulations of fracture healing
2.1 力学调控模型
力学调控模型以力学刺激为调控因子，考虑的是力学负荷对骨折愈合过程中的细胞活动和组织分化的影响。常规手段是通过有限元分析计算骨痂区域的力学刺激，利用力学调控组织分化的理论，以描述骨折愈合的动态过程。以下是常用的模拟骨折愈合过程中细胞活动和组织分化的力学调控算法及其发展历程。
早在 1960 年，Pauwels[32]首次提出骨折部位的组织分化受力学刺激调控，他指出局部静水压力（hydrostatic pressure）能够导致 MSC 分化成软骨细胞进而形成软骨；剪切应变可导致 MSC 分别分化为成骨细胞和成纤维细胞从而形成骨和纤维组织。近期，Lipphaus 等[25]运用该力学调控算法预测了骨折愈合过程中 IFM 和愈合所需时间等特征，发现其与临床观测、动物实验和其他有限元模拟结果一致，进一步验证了该理论。
基于 Pauwels[32]的观点，Carter 等[33]在有限元模型中将骨痂区域的组织赋予线弹性材料属性，利用有限元模型研究了局部应力和应变与组织分化之间的关系。他们提出了由应变和静水压力组合调控的组织分化理论，认为当拉伸应变较高时，低的静水压力导致纤维组织形成，高的静水压力导致纤维软骨形成；而当拉伸应变较低时，静水压力较低或较高将分别导致骨和软骨形成。之后，Carter 等[33]的力学调控组织分化的理论还被用于研究非对称骨折和牵张成骨等的骨重建过程。然而，尚未有研究运用该理论预测骨折愈合过程中动态组织分化过程。
随后，Claes 等[23]利用有限元模型结合动物实验提出了类似于 Carter 等[33]的组织分化理论。他们的研究指出，低于 0.15 MPa 的静水压力和小于 5% 的八面体剪切应变（octahedral shear strain）可刺激膜内成骨，高于 0.15 MPa 的静水压力和小于 15% 的应变可刺激软骨内成骨，这些范围之外的压力和应变将导致软组织或软骨形成。
另一方面，Prendergast 等[22]建立了双相多孔弹性有限元模型，提出了以应变和流体速度作为影响细胞活动的力学刺激。他们认为高应变和高流体速度（fluid velocity）驱动了纤维组织的形成，中等应变和中等流体速度驱动了软骨组织的形成，只有当上述力学刺激较低时才会导致骨组织的形成。
尽管理论有所不同，但上述力学调控算法均能够较好地预测正常骨折愈合下的组织分化过程。虽然力学调控模型对骨折愈合有较好的预测效果，但是这种模型仅考虑力学因素对骨折愈合的影响。然而，骨折愈合是一个复杂的生物学过程，既受力学刺激的调控，又受生物学因素的影响。因此，为了建立更精确的模拟骨折愈合的数值模型，需要考虑生物学因素的影响。
2.2 生物学调控模型
除了力学环境，生物学因素在愈合过程中也起着关键的调控作用。在生物学调控模型中，细胞活动和基质合成受生物学因素（如血管生成、氧供应、生长因子）的调控。通常可以利用偏微分方程系统描述细胞的浓度和密度以及生长因子的时空变化过程[7]。例如，在 Vavva 等[19]的一项研究中，利用偏微分方程系统描述了细胞、生长因子和组织的时空演化，利用超声声压和速度方程描述了血管网络的发育，研究了超声对血管生成的影响，特别是对 VEGF 转运的影响，研究发现超声能够增强骨折愈合过程中血管的生成。
现有的生物学调控模型通常仅考虑生物学因素对骨折愈合过程的调控但忽略了力学刺激的影响。因此，这些模型通常无法解释骨折愈合中的力学问题，包括骨折断端的稳定性或 IFM 对愈合的影响。尽管如此，这些模型仍能够较好地表征一些愈合过程，如细胞迁移或生长因子的释放等，因为它们更多地依赖于生物学因素而非力学环境。
2.3 力学生物学耦合调控模型
上述力学调控模型和生物学调控模型都是只考虑影响骨折愈合过程中的单一力学或生物学因素的作用。力学生物学耦合调控模型旨在将两种模型结合在一起，同时考虑力学环境和生物学因素对愈合的影响，极大地提高了数值模拟的准确性。
一方面，在生物学调控模型中加入力学刺激这一调控因素。例如，Grivas 等[29]在 Vavva 等[19]的生物学调控模型基础上加入了局部力学环境和血管生成来考虑其对组织分化的影响。利用有限元方法计算骨痂区域力学刺激，并用偏微分方程系统模拟超声对细胞血管生成过程的增强作用。他们的研究表明，超声能够促进膜内成骨和加速骨桥接。另一方面，也有研究在力学调控模型中加入了生物学因素（例如血管生成、氧供应和生长因子等）的影响。例如，Ghimire 等[24]在模型中考虑了动态载荷下细胞和生长因子的转运的作用，以及力学刺激介导的 MSC 分化和组织生成的影响，指出了动态加载能增强 MSC 和生长因子的空间依赖性。进一步，Ganadhiepan 等[30]采用力学生物学耦合调控模型模拟了不同大小的骨折间隙、固定器钢丝预张力和轴向载荷组合下的骨折愈合过程，并发现动态载荷能显著提高骨折区域的细胞和生长因子的浓度，且具有时间和空间依赖性。
3 模拟骨折愈合的数值建模方法
实现以上数值调控模型，进而模拟骨折愈合过程的数值建模方法主要包括基于代理的技术（agent-based techniques）和模糊逻辑（fuzzy logic）控制方法。
在基于代理技术的建模方法中，通常将组织再生区域分成一系列的格点[25, 28-29]，用于代表细胞和细胞外基质等。这种建模方法侧重于描述骨折愈合在细胞水平上的发生过程，通过求解偏微分方程来模拟骨折愈合过程中细胞迁移、血管网络重建和其他细胞活动[5]。Checa 等[34]首次将毛细血管网络形成的算法加入到基于代理技术的模型中，建立了一种基于局部力学环境和局部血运的力学生物学耦合调控模型。该模型预测了类似于实验研究中发现的毛细血管网络以及组织分化的不同模式，并发现这些模式受到毛细血管网络形态的影响。此外，他们发现较高的机械负荷会导致血管发育减慢和骨组织形成延迟。但是，这种方法往往需要求解大量的偏微分方程，计算较耗时。
在基于模糊逻辑的建模方法中，通常将骨痂区域的每个单元视为软组织、软骨、编织骨和板层骨的混合体，通过有限元分析计算力学刺激，根据组织分化规则来判断骨痂区域各单元的输入状态，并输出可能的生物过程，例如：膜内成骨，软骨内成骨等，以预测骨痂区域的组织分化。这种方法可以避免求解若干非线性偏微分方程，从而可以节省计算时间[7]。Ament 等[35]使用模糊逻辑控制方法来模拟骨折愈合的过程，将应变能密度和成骨因子作为影响组织分化的力学和生物学因素。该模型成功预测了骨痂区域首先通过软骨桥接，随后是间隙内的骨生长，最后是骨痂在愈合后被吸收的过程。但是基于模糊逻辑的建模方法中在初始参数设定时通常基于先前的经验，因此需要进一步验证，以保证其得到的结果与实际观测一致。
此外，Pietsch 等[26]采用界面捕捉技术（interface-capturing techniques）建立了骨折愈合模型，将目标区域细分为与时间相关的非重叠子域，每个子域被赋予一种特定的组织类型（软组织、软骨、编织骨和板层骨）。通过跟踪同类型组织的不同域，利用清晰的边界进行分隔，以此来描述组织的变化。这种方法的一个优点是：它与实验中观察到的参数直接相关，包括组织生长速度。但是，该技术目前还未能得到临床试验数据的验证[26]。
4 总结和展望
本文系统综述了模拟骨折愈合的数值方法及相关研究的最新进展。骨折愈合的数值模拟研究极大地丰富了人们对骨折愈合机制的认识，同时也对临床治疗骨折策略的选择和器械的设计有重要的指导意义。但是，目前大多数数值模型仍集中在模拟力学因素对骨折愈合的作用，诸如药物治疗、遗传因素等对骨折愈合的影响尚未在模型中体现，因此需要进一步发展力学刺激和多种生物学因素耦合的骨折愈合数值模拟方法。
利益冲突声明：本文全体作者均声明不存在利益冲突。
引言
随着世界人口老龄化问题的日益加剧和交通事故量的不断攀升，骨折病例呈现逐年增加的趋势[1-2]。针对骨折的治疗，尽管目前临床上已经有相对成熟的治疗策略，然而据报道，仍有大约 5%～10% 的骨折病例出现延迟愈合或不完全愈合的情况[3-4]，例如大段骨缺损、骨质疏松性骨折或与遗传因素密切相关的骨折等[5-6]。因此，深入了解骨折愈合的机制和影响因素对制定和优化骨修复的策略有重要的意义[7]。
骨折愈合的过程涉及复杂的组织、细胞和分子层次生物学活动，且受力学和生物学因素的影响[8]。通常，以患者为对象的临床研究周期较长，而动物实验也存在重复性差和条件不易控制等局限性。相反，利用数值模拟方法可以定量分析力学刺激或生物学因素与骨折愈合过程中组织分化、生长之间的定量关系，进而揭示骨折愈合机制并明确影响愈合效果的关键因素[9]。近年来，数值模拟方法在探索骨折愈合机制、设计骨折固定装置和发展新型治疗策略等方面均有广泛的应用[7, 10]。但是，数值模拟方法也存在局限性，需要与活体实验结合来验证其准确性和合理性，进而指导临床应用[7]。
本文主要介绍模拟骨折愈合的数值方法及其最新的研究进展，帮助人们更好地了解骨折愈合的机制，同时也对未来骨折愈合的数值模拟研究提供方向和指导。本文首先介绍骨折愈合的生物学过程及其与力学刺激和生物学因素的关系，然后侧重总结了用于模拟骨折愈合的数值模型（包括力学调控模型、生物学调控模型和力学生物学耦合调控模型）以及实现骨折愈合的数值建模方法（主要包括基于代理的技术和模糊逻辑控制方法），最后对骨折愈合数值模拟研究的发展方向进行初步展望。
1 骨折愈合过程及关键调控因素
骨折愈合是一个复杂的生物学过程，愈合形式通常分为一期愈合和二期愈合[3]。一期愈合主要出现于骨折断端间隙较小或绝对固定的条件下，骨折断端通过膜内成骨发生直接愈合，通常没有任何外部组织（骨痂）形成[3, 11]。当骨折断端间隙较大且可发生相对位移，即间隙运动（interfragmentary movement，IFM）时，就会出现二期愈合[3, 8]。二期愈合是最常见的骨折愈合形式，通常分为三个阶段：炎症、修复和重塑[9, 12]。当骨折发生后，在骨折部位会出现炎症物质的积累进而形成血肿，为之后愈合过程中的细胞活动和组织分化提供适宜的生理环境[13]。一旦骨折断端周围开始形成骨和软骨，愈合即进入修复阶段。新骨最初在现有皮质骨上通过膜内成骨形成。同时，骨痂在骨折断端及其周围通过软骨内成骨形成。软骨的形成通常始于皮质骨末端处并呈放射状延伸。最终软骨钙化，使新骨得以长入。一旦骨痂形成骨桥接并重新连接骨折断端，之后骨重塑过程占主导地位。组织较少的编织骨逐渐被更成熟的板层骨所取代，最终骨折部位逐渐恢复到原有的骨强度和功能[9]。在二期愈合中，力学和生物学因素均起主导作用。
1.1 力学刺激在骨折愈合过程中的作用
力学刺激在骨折愈合中发挥着重要的调控作用。骨折愈合过程中的细胞迁移、细胞/组织分化和生长因子的释放等都受力学环境的影响[7]。Isaksson[9]指出骨痂中局部应变场（大小和分布）是调节组织分化的主要因素，而局部应变场由骨折的类型、间隙大小以及骨折端 IFM 的大小、方向和历程决定。Wang 等[14]研究发现，较小的间隙可以加速愈合进程，而较大的间隙可能会导致愈合延迟。IFM 的大小由外部载荷大小和固定器的稳定性/刚度决定[15-16]。一些研究发现对骨折部位施加动态载荷具有促进愈合的积极作用[16-17]。Wilson 等[18]研究了固定器刚度对骨折愈合的影响并发现，持续且较高的固定刚度会产生最快和最直接的愈合，而持续较低的固定刚度会导致愈合缓慢甚至出现不愈合的现象。另外，IFM 的方向也会影响骨折愈合的进程。适度的轴向 IFM 可以刺激骨痂的形成，对愈合过程具有积极的促进作用。与轴向运动相比，间隙内的剪切运动对骨折愈合的作用效果仍存在争议。一些研究显示剪切运动可以起到促进愈合的积极作用，而另外一些研究认为剪切运动会抑制骨折愈合[9]。导致这些结论不一致的原因可能是由于剪切运动对时间、大小和间隙大小的敏感性不同。
1.2 生物学因素在骨折愈合过程中的作用
除了力学刺激因素外，生长因子等生物学因素对骨折愈合也具有重要的调控作用[12]。多种生长因子通过调节细胞增殖、迁移和分化等细胞活动参与骨折愈合过程，如转化生长因子-β（transforming growth factor-beta，TGF-β）、骨形态发生蛋白（bone morphogenetic protein，BMP）和血管内皮生长因子（vascular endothelial growth factor，VEGF）等。TFG-β 在软骨和骨组织的分化和形成中发挥关键作用，可以促进间充质干细胞（mesenchymal stem cell，MSC）、成纤维细胞、软骨细胞、成骨细胞的细胞活性，并抑制破骨细胞的细胞活性[7]。BMP 是细胞迁移、分化、分裂和基质合成的生物信号。临床上通过引入 BMP-2 和 BMP-7 可以缩短骨折愈合时间并提高骨折愈合质量[7]。VEGF 是影响血管生成的重要因子。越来越多的研究表明，骨折愈合过程中血管生成与骨修复密切相关。血液除了向细胞提供氧气和营养物质外，也是细胞分化的“调节器”。局部组织的再生需要足够的血液供应[19-20]。血液供应良好的部位愈合较快，反之会出现愈合速度缓慢甚至发生不愈合或缺血性骨坏死的情况[20]。除了上述生长因子外，氧供应在骨折愈合过程中也起着重要作用。低氧环境能够促进软骨形成，而骨组织通常在高氧环境中更容易形成[21]。
2 模拟骨折愈合的数值模型
利用数值模拟可以定量地描述骨折愈合的动态过程，并且通过探究力学和生物学因素与骨折愈合之间的关系，能够更好地理解骨折愈合的力学生物学机制[22-23]。通常，骨折愈合的模拟是从对骨折初始部位的建模开始；利用有限元分析方法计算骨痂区域诸如应力、应变、压力和流体速度等力学刺激参数；随后，将这些力学刺激参数与生物学参数耦合，用于描述细胞活动和组织变化的过程；最后，经过多次迭代计算，并在每次迭代中更新组织类型、材料属性和几何形状，直至达到最大迭代步或满足终止判定条件时，迭代终止。目前常用于模拟骨折愈合的数值模型主要有三种类型：① 力学调控模型（仅考虑力学环境和愈合过程）；② 生物学调控模型（仅考虑生物学因素和愈合过程）；③ 力学生物学耦合调控模型（考虑生物学因素、力学环境和愈合过程）。本文总结了近年来骨折愈合数值模拟的最新研究，包括各自用到的调控模型、力学刺激调控参数、所考虑的生物因素、建模方法和组织分化理论等，如表 1 所示，对于相关骨折愈合数值模拟的较早研究，可参考 Borgiani 等[5]、Ghiasi 等[7]和 Isaksson[9]论文。
表1
骨折愈合数值模拟的相关研究总结
Table1.
A summary of relevant studies on numerical simulations of fracture healing
2.1 力学调控模型
力学调控模型以力学刺激为调控因子，考虑的是力学负荷对骨折愈合过程中的细胞活动和组织分化的影响。常规手段是通过有限元分析计算骨痂区域的力学刺激，利用力学调控组织分化的理论，以描述骨折愈合的动态过程。以下是常用的模拟骨折愈合过程中细胞活动和组织分化的力学调控算法及其发展历程。
早在 1960 年，Pauwels[32]首次提出骨折部位的组织分化受力学刺激调控，他指出局部静水压力（hydrostatic pressure）能够导致 MSC 分化成软骨细胞进而形成软骨；剪切应变可导致 MSC 分别分化为成骨细胞和成纤维细胞从而形成骨和纤维组织。近期，Lipphaus 等[25]运用该力学调控算法预测了骨折愈合过程中 IFM 和愈合所需时间等特征，发现其与临床观测、动物实验和其他有限元模拟结果一致，进一步验证了该理论。
基于 Pauwels[32]的观点，Carter 等[33]在有限元模型中将骨痂区域的组织赋予线弹性材料属性，利用有限元模型研究了局部应力和应变与组织分化之间的关系。他们提出了由应变和静水压力组合调控的组织分化理论，认为当拉伸应变较高时，低的静水压力导致纤维组织形成，高的静水压力导致纤维软骨形成；而当拉伸应变较低时，静水压力较低或较高将分别导致骨和软骨形成。之后，Carter 等[33]的力学调控组织分化的理论还被用于研究非对称骨折和牵张成骨等的骨重建过程。然而，尚未有研究运用该理论预测骨折愈合过程中动态组织分化过程。
随后，Claes 等[23]利用有限元模型结合动物实验提出了类似于 Carter 等[33]的组织分化理论。他们的研究指出，低于 0.15 MPa 的静水压力和小于 5% 的八面体剪切应变（octahedral shear strain）可刺激膜内成骨，高于 0.15 MPa 的静水压力和小于 15% 的应变可刺激软骨内成骨，这些范围之外的压力和应变将导致软组织或软骨形成。
另一方面，Prendergast 等[22]建立了双相多孔弹性有限元模型，提出了以应变和流体速度作为影响细胞活动的力学刺激。他们认为高应变和高流体速度（fluid velocity）驱动了纤维组织的形成，中等应变和中等流体速度驱动了软骨组织的形成，只有当上述力学刺激较低时才会导致骨组织的形成。
尽管理论有所不同，但上述力学调控算法均能够较好地预测正常骨折愈合下的组织分化过程。虽然力学调控模型对骨折愈合有较好的预测效果，但是这种模型仅考虑力学因素对骨折愈合的影响。然而，骨折愈合是一个复杂的生物学过程，既受力学刺激的调控，又受生物学因素的影响。因此，为了建立更精确的模拟骨折愈合的数值模型，需要考虑生物学因素的影响。
2.2 生物学调控模型
除了力学环境，生物学因素在愈合过程中也起着关键的调控作用。在生物学调控模型中，细胞活动和基质合成受生物学因素（如血管生成、氧供应、生长因子）的调控。通常可以利用偏微分方程系统描述细胞的浓度和密度以及生长因子的时空变化过程[7]。例如，在 Vavva 等[19]的一项研究中，利用偏微分方程系统描述了细胞、生长因子和组织的时空演化，利用超声声压和速度方程描述了血管网络的发育，研究了超声对血管生成的影响，特别是对 VEGF 转运的影响，研究发现超声能够增强骨折愈合过程中血管的生成。
现有的生物学调控模型通常仅考虑生物学因素对骨折愈合过程的调控但忽略了力学刺激的影响。因此，这些模型通常无法解释骨折愈合中的力学问题，包括骨折断端的稳定性或 IFM 对愈合的影响。尽管如此，这些模型仍能够较好地表征一些愈合过程，如细胞迁移或生长因子的释放等，因为它们更多地依赖于生物学因素而非力学环境。
2.3 力学生物学耦合调控模型
上述力学调控模型和生物学调控模型都是只考虑影响骨折愈合过程中的单一力学或生物学因素的作用。力学生物学耦合调控模型旨在将两种模型结合在一起，同时考虑力学环境和生物学因素对愈合的影响，极大地提高了数值模拟的准确性。
一方面，在生物学调控模型中加入力学刺激这一调控因素。例如，Grivas 等[29]在 Vavva 等[19]的生物学调控模型基础上加入了局部力学环境和血管生成来考虑其对组织分化的影响。利用有限元方法计算骨痂区域力学刺激，并用偏微分方程系统模拟超声对细胞血管生成过程的增强作用。他们的研究表明，超声能够促进膜内成骨和加速骨桥接。另一方面，也有研究在力学调控模型中加入了生物学因素（例如血管生成、氧供应和生长因子等）的影响。例如，Ghimire 等[24]在模型中考虑了动态载荷下细胞和生长因子的转运的作用，以及力学刺激介导的 MSC 分化和组织生成的影响，指出了动态加载能增强 MSC 和生长因子的空间依赖性。进一步，Ganadhiepan 等[30]采用力学生物学耦合调控模型模拟了不同大小的骨折间隙、固定器钢丝预张力和轴向载荷组合下的骨折愈合过程，并发现动态载荷能显著提高骨折区域的细胞和生长因子的浓度，且具有时间和空间依赖性。
3 模拟骨折愈合的数值建模方法
实现以上数值调控模型，进而模拟骨折愈合过程的数值建模方法主要包括基于代理的技术（agent-based techniques）和模糊逻辑（fuzzy logic）控制方法。
在基于代理技术的建模方法中，通常将组织再生区域分成一系列的格点[25, 28-29]，用于代表细胞和细胞外基质等。这种建模方法侧重于描述骨折愈合在细胞水平上的发生过程，通过求解偏微分方程来模拟骨折愈合过程中细胞迁移、血管网络重建和其他细胞活动[5]。Checa 等[34]首次将毛细血管网络形成的算法加入到基于代理技术的模型中，建立了一种基于局部力学环境和局部血运的力学生物学耦合调控模型。该模型预测了类似于实验研究中发现的毛细血管网络以及组织分化的不同模式，并发现这些模式受到毛细血管网络形态的影响。此外，他们发现较高的机械负荷会导致血管发育减慢和骨组织形成延迟。但是，这种方法往往需要求解大量的偏微分方程，计算较耗时。
在基于模糊逻辑的建模方法中，通常将骨痂区域的每个单元视为软组织、软骨、编织骨和板层骨的混合体，通过有限元分析计算力学刺激，根据组织分化规则来判断骨痂区域各单元的输入状态，并输出可能的生物过程，例如：膜内成骨，软骨内成骨等，以预测骨痂区域的组织分化。这种方法可以避免求解若干非线性偏微分方程，从而可以节省计算时间[7]。Ament 等[35]使用模糊逻辑控制方法来模拟骨折愈合的过程，将应变能密度和成骨因子作为影响组织分化的力学和生物学因素。该模型成功预测了骨痂区域首先通过软骨桥接，随后是间隙内的骨生长，最后是骨痂在愈合后被吸收的过程。但是基于模糊逻辑的建模方法中在初始参数设定时通常基于先前的经验，因此需要进一步验证，以保证其得到的结果与实际观测一致。
此外，Pietsch 等[26]采用界面捕捉技术（interface-capturing techniques）建立了骨折愈合模型，将目标区域细分为与时间相关的非重叠子域，每个子域被赋予一种特定的组织类型（软组织、软骨、编织骨和板层骨）。通过跟踪同类型组织的不同域，利用清晰的边界进行分隔，以此来描述组织的变化。这种方法的一个优点是：它与实验中观察到的参数直接相关，包括组织生长速度。但是，该技术目前还未能得到临床试验数据的验证[26]。
4 总结和展望
本文系统综述了模拟骨折愈合的数值方法及相关研究的最新进展。骨折愈合的数值模拟研究极大地丰富了人们对骨折愈合机制的认识，同时也对临床治疗骨折策略的选择和器械的设计有重要的指导意义。但是，目前大多数数值模型仍集中在模拟力学因素对骨折愈合的作用，诸如药物治疗、遗传因素等对骨折愈合的影响尚未在模型中体现，因此需要进一步发展力学刺激和多种生物学因素耦合的骨折愈合数值模拟方法。
利益冲突声明：本文全体作者均声明不存在利益冲突。
