Numerische Inversion der sphärischen Radontransformation und der Kosinustransformation

Abstract

In dieser Arbeit werden stabile und effiziente Inversionsmethoden für zwei eng miteinander verwandte Integraloperatoren in R3 präsentiert, nämlich für die sphärischen Radontransformation (auch Funk-Transformation genannt) und die Kosinustransformation. Die Untersuchungen sind durch ein inverses Problem aus der Stereologie motiviert, bei dem die Richtungsverteilung eines stochastischen Faser-Prozesses ausgehend von der geschätzten Schnittzahlrose rekonstruiert werden soll. Besitzt die Richtungsverteilung eine Dichte bezüglich des sphärischen Lebesgue-Maßes, so entsprechen die gegebenen Daten der Kosinustransformation der unbekannten Dichte. Aufgrund der Schlechtgestelltheit dieses inversen Problems wird eine numerisch stabile Inversion dieser Transformation benötigt. Nach dem aktuellen Stand der Forschung ist bisher kein adäquates Verfahren bekannt. In dieser Arbeit wird das Verfahren der Approximativen Inversen angewendet, um beide Integraltransformationen numerisch zu invertieren. Durch die Wahl spezieller Mollifier ist es möglich, den zugehörigen Rekonstruktionskern analytisch zu berechnen. Es werden zudem Bedingungen an die Mollifier hergeleitet, welche die regularisierende Wirkung des Verfahrens sicherstellen. Weiterhin werden die Nullräume beider Transformationen charakterisiert und die Wahl einer geeigneten Menge von Messrichtungen diskutiert. Numerische Tests, bei denen das L-Kriterium zur Wahl des Regularisierungsparameters verwendet wird, belegen Effektivität und Effizienz der entwickelten Algorithmen. Zu diesem Zweck werden die Verfahren für beide Transformationen zunächst anhand synthetischer Daten getestet. Anschließend wird der Algorithmus zur Inversion der Kosinustransformation genutzt, um die Dichte der Richtungsverteilung eines Zylinder-Prozesses aus endlich vielen Schnitten des Prozesses mit Testebenen zu rekonstruieren. Schließlich werden 3D-Datensätze von realen Fasersystemen untersucht.

In the thesis efficient and stable inversion methods for two closely related three-dimensional integral transforms are presented, namely the spherical Radon transform (also known as Funk transform) and the cosine transform. The investigations are motivated by an inverse problem arising in stereology. The aim is to reconstruct the directional distribution of a random fiber process from its estimated rose of intersections. In the case of the directional distribution having a density w.r.t. the spherical surface area measure, the given data is approximately equal to the cosine transform of the unknown density. Due to the ill-posedness, a numerically stable inversion of this transform has to be performed. The tool of the Approximate Inverse is applied in order to invert both transforms numerically. An appropriate choice of mollifiers allows to calculate the corresponding reconstruction kernel explicitly. Moreover, conditions on the mollifiers are established which ensure regularization properties of the method. Furthermore, the nullspaces of the transforms are characterized, and the selection of an adequate set of measurement directions is elaborated. Numerical results substantiate the validity of the resulting algorithms, where the L-criterion is utilized to select the regularization parameter. First, synthetic data is used to test the derived inversion method for both transforms. Subsequently, the algorithm for the inversion of the cosine transform is applied to reconstruct the density of the directional distribution of a cylinder process from finitely many intersections of their cylinders with test planes. Finally, this method is used to analyze a series of microscopic three-dimensional images of real fibre systems.