Gain of regularity for equations of KdV type

Abstract

This article discusses questions of the smoothness of solutions to nonlinear dispersive evolution equations. We consider equations of KdV type, that is, of the general form

with $x\in \mathbf{R}$. The hypothesis on the nonlinear function $f$ is principally that ${\partial }_{{\partial }_x^{3}u}f\geqq \mathrm{C}\geqq 0$, so that dispersive effects are dominant. We show that if the function $u(0,x)$ decays faster than polynomially on ${\mathbf{R}}^{+}$, and possesses certain minimal regularity, then a priori the solution $u(t,x)\in C^{\infty }$ for $t>0$. Furthermore, the relationship between the rate of decay and the amount of gain of regularity is quantified; if

then $u\left(t,.\right)\in {\mathrm{H}}_{\mathrm{loc}}^k\left(\mathbf{R}\right)$ for all $0<t\leqq T$, and $u\left(t,x\right)\in {\mathrm{L}}^1\left(\left[0,\mathrm{T}\right];{\mathrm{H}}_{\mathrm{loc}}^{k+1}\left(\mathbf{R}\right)\right)$ where $T$ is the existence time.

Résumé

Cet article démontre certaines propriétés de régularité des solutions des équations d’évolution dispersives non linéaires. Nous considérons les équations du type KdV, de la forme

où $x\in \mathbf{R}$. L’hypothèse la plus importante sur la fonction $f$ est que ${\partial }_{{\partial }_x^{3}u}f\geqq \mathrm{C}>0$, pour que les effets dispersifs soient dominants. Nous montrons que, si la fonction $u(0,x)$ décroît vers zéro plus vite que les polynomes sur ${\mathbf{R}}^{+}$, et si elle est de minimale régularité, a priori la solution $u(t,x)\in C^{\infty }$ pour $t>0$. En plus, la relation entre la vitesse de décroissance et l’ordre de régularité supplémentaire est quantifiée; si

alors $u\left(t,.\right)\in {\mathrm{H}}_{\mathrm{loc}}^k\left(\mathbf{R}\right)$ pour tout $0<t\leqq T$, et $u\left(t,x\right)\in {\mathrm{L}}^1\left(\left[0,\mathrm{T}\right];{\mathrm{H}}_{\mathrm{loc}}^{k+1}\left(\mathbf{R}\right)\right)$ où $T$ est le temps d’existence.