[Réduction du problème des sections de corps convexes au cas de rapport volumique borné]
Cette Note concerne le problème bien connu de la minoration uniforme de la mesure des sections de codimension 1 de corps convexes isotrope dans , ce qui équivaut à une borne uniforme de la constante d'isotropie. Nous démontrons qu'une réponse affirmative à cette question dans le cas particulier d'un corps à rapport volumique borné (c'est-à-dire tel que la racine n-ième du volume de l'ellipsoide de John admet une borne inférieure) entraı̂ne une réponse affirmative en général. La méthode utilise des techniques de symétrisation et de géométrie des espaces de Banach.
Here we discuss results around the slicing problem, which is a well known open problem in asymptotic convex geometry. We show that if one can prove that the isotropic constant of bodies with a finite volume ratio is uniformly bounded – then it would follow that the isotropic constant of any convex body is uniformly bounded.
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TY - JOUR AU - Jean Bourgain AU - Bo'az Klartag AU - Vitali Milman TI - A reduction of the slicing problem to finite volume ratio bodies JO - Comptes Rendus. Mathématique PY - 2003 SP - 331 EP - 334 VL - 336 IS - 4 PB - Elsevier DO - 10.1016/S1631-073X(03)00041-4 LA - en ID - CRMATH_2003__336_4_331_0 ER -
Jean Bourgain; Bo'az Klartag; Vitali Milman. A reduction of the slicing problem to finite volume ratio bodies. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 336 (2003) no. 4, pp. 331-334. doi : 10.1016/S1631-073X(03)00041-4. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/S1631-073X(03)00041-4/
[1] Normed spaces with a weak-Gordon–Lewis property, Proc. of Funct. Anal., University of Texas and Austin (1987–1989), Lecture Notes in Math., 1470, Springer, 1991, pp. 36-47
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[4] Inégalité de Brunn–Minkowski inverse et applications à la théorie locale des espaces normés, C. R. Acad. Sci. Paris, Sér. 1, Volume 320 (1986), pp. 25-28
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[6] Isotropic position and inertia ellipsoids and zonoids of the unit ball of a normed n-dimensional space, Geometric aspects of functional analysis (1987–88), Lecture Notes in Math., 1376, Springer, 1989, pp. 64-104
[7] The Volume of Convex Bodies and Banach Space Geometry, Cambridge Tracts in Math., 94, Cambridge University Press, 1997
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