Désingularisation de métriques d’Einstein. II

Abstract

We calculate a wall crossing formula for 4-dimensional Poincaré–Einstein metrics, through a wall made of orbifold Poincaré–Einstein metrics with $A_1$ singularities. This is based on a formalism which enables to deal with higher order terms of the Einstein equation in this setting. Some other consequences are deduced.

Annexe: Les instantons \(A_k\)

Dans cette annexe, nous donnons rapidement les formules explicites utilisées sur les instantons gravitationnels de type $A_k$. Commençons par rappeler l’ansatz de Gibbons–Hawking.

Soit V une fonction harmonique sur $\mathbb {R}^3$, telle que $*dV=d\eta$, où $\eta$ est la 1-forme de connexion d’un fibré en cercles (ce qui exige que la classe de cohomologie de la forme fermée $\frac{*dV}{2\pi }$ soit entière). Alors, sur l’espace total du fibré, la formule

$$\begin{aligned} g=V((dx^1)^2+(dx^2)^2+(dx^3)^2)+V^{-1}\eta ^2 \end{aligned}$$

définit une métrique hyperkälérienne, pour laquelle $J_1dx^1=V^{-1}\eta$ et $J_1dx^2=dx^3$, et $J_2$ et $J_3$ sont définies de manière similaire par permutation circulaire sur $(x^1,x^2,x^3)$.

Les instantons gravitationnels de type $A_k$ sont obtenus en prenant

$$\begin{aligned} V = \frac{1}{2} \sum _0^k \frac{1}{|x-p_i|} \end{aligned}$$

sur $\mathbb {R}^3-\{p_i\}$, où les $p_i$ sont des points distincts de $\mathbb {R}^3$. Compte tenu de l’invariance par translation, on peut supposer

$$\begin{aligned} \sum _0^k p_i = 0. \end{aligned}$$

En ajoutant un point au-dessus de chaque $p_i$, on peut montrer que la métrique s’étend en une métrique lisse. Quand certains $p_i$ sont confondus, on obtient une singularité orbifold. Le cas de rang 1 avec une seule singularité orbifold restante correspond à k points confondus, $p_1=\cdots =p_k$. Vu l’action de $SO_3$ sur la situation, on peut supposer ces points situés sur l’axe des $x^1$, et donc

$$\begin{aligned} p_0 = (-k\lambda ,0,0), \quad p_1=\cdots =p_k=(\lambda ,0,0). \end{aligned}$$

Alors on a une singularité $A_{k-1}$ au point $p_1$, et la courbe $J_1$-holomorphe $\Sigma$ se trouve au-dessus du segment $[p_0,p_1]$. En particulier,

$$\begin{aligned} {{\mathrm{Vol}}}\Sigma = \int _\Sigma dx^1\wedge \eta = 2\pi (k+1)\lambda . \end{aligned}$$

Notons $\rho$ le rayon dans $\mathbb {R}^3$ et r le rayon dans $\mathbb {R}^4$. Vu que $V\sim \frac{k+1}{2\rho }$, on obtient à l’infini, en prenant $r^2=2(k+1)\rho$,

$$\begin{aligned} g&\sim \frac{k+1}{2\rho }(d\rho ^2+\rho ^2g_{S^2}) + \frac{2r}{k+1}\eta ^2 \\&\sim dr^2+\frac{r^2}{4}+\frac{r^2}{(k+1)^2}\eta ^2, \end{aligned}$$

qui est la métrique standard de $\mathbb {R}^4/\mathbb {Z}_{k+1}$.

La situation est invariante par les rotations en les coordonnées $(x^2,x^3)$, qui donne l’action de cercle cherchée (il faut prendre une action de poids 2, par $e^{2i\theta }(x^2+ix^3)$, car les $x^i$ sont quadratiques en les coordonnées de $\mathbb {R}^4$). L’application moment m est

$$\begin{aligned} m = k |x-p_1| + |x-p_0|, \end{aligned}$$

et $\frac{m}{2}$ est un potentiel pour $\omega _2$ et $\omega _3$. On observera que, comme il se doit, $m\sim (k+1)\rho \sim \frac{r^2}{2}$. En particulier, on déduit la formule utilisée dans la démonstration du lemme,

$$\begin{aligned} \int _\Sigma m\omega _1&= 2\pi \int _{-k\lambda }^\lambda ((x^1+k\lambda )+k(\lambda -x^1))dx^1 \\&= \pi (k+1)^3\lambda ^2 = \pi (k+1)\bigg (\frac{{{\mathrm{Vol}}}\Sigma }{2\pi }\bigg )^2 . \end{aligned}$$

Enfin, une des vertus de l’ansatz de Gibbons–Hawking est de fournir les fonctions harmoniques $x^i$. On calcule facilement le développement

$$\begin{aligned} x^1 \sim \frac{|z^1|^2-|z^2|^2}{2(k+1)}. \end{aligned}$$

Il en résulte que la fonction harmonique $\varphi _1$ dans la démonstration du Lemme 5 n’est autre que

$$\begin{aligned} \varphi _1 = 2(k+1)x^1. \end{aligned}$$

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En particulier, le calcul fait dans ce lemme est justifié par la formule

$$\begin{aligned} \int _\Sigma \varphi _1&= 2(k+1) 2\pi \int _{-k\lambda }^\lambda x^1dx^1\\&= - 2\pi (k+1)^2(k-1)\lambda ^2 =-2\pi (k-1) \bigg (\frac{{{\mathrm{Vol}}}\Sigma }{2\pi }\bigg )^2 . \end{aligned}$$