This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
References
P. Hertz, Über Axiomensysteme für beliebige Satzsysteme, Math. Annalen101 (1929); bezüglich obiger Frage siehe vor allem § 1 und 7. Weitere Arbeiten von P. Hertz über denselben Gegenstand finden sich in den Math. Annalen 87 (1922) und89 (1923), sowie den Ann. d. Philos.7 (1928); diese werden wir im folgenden als H. 1, H. 2, H. 3, die zuvor genannte als H. 4 zitieren.
Siehe Anmerkung P. Hertz, Über Axiomensysteme für beliebige Satzsysteme, Math. Annalen101 (1929)
Nur insofern als Hertz statt des “Schnittes” den “Syllogismus” benutzt, weicht unsere Definition des “Beweises” (und entsprechend der “Beweisbarkeit”) von der seinigen ab. Siehe den nächsten Paragraphen.
Wenn wir die Worte “Satz” und “Beweis” im üblichen Sinne, als Bestandteile unserer Sprache, gebrauchen, ist damit natürlich etwas ganz anderes gemeint als mit den rein formal eingeführten Begriffen “Satz” und “Beweis” (welche auch bei inhaltlicher Deuting noch wesentlich enger als jene sind); Verwechslungen dürften stets durch den Zusammenhang ausgeschlossen sein.
P. Hertz beweist denanalogen Satz für seine Schlußweisen in H. 3. Auf Grund unsens § 3 könnten wir us hierauf berufen, wir geben jedoch einen neuen Beweis, da wir die dabei zugleich erhaltene “Normalform” des “Beweises” später brauchen werdes. Der Hertzsche Beweis führt auf eine “aristotelische Normalform”, die für unsere Zwecke nicht geeignet ist.
Vgl. Anmerkung P. Hertz beweist denanalogen Satz für seine Schlußweisen in H. 3. Auf Grund unseres § 3 könnten wir uns hierauf berufen, wir geben jedoch einen neuen Beweis, da wir die dabei zugleich erhaltene “Normalform” des “Beweise” später brauchen werder. Der Hertzsche Beweis führt auf eine “aristotelische Normalform”, die für unsere Zwecke nicht geeignet ist.
Wir braucen solche Satzsysteme, die nur aus trivialen Sätzen bestehen, nicht auszuschließen, wenn wir ein leeres Axiomensystem zulassen.
Hertz schließt in den Begriff “Maximalnetz” noch die zugehörigen Netzsätze mit ein; unsere Aussagen bleiben auch bei dieser Auffassung richtig.
Ein analoges Verfhren für endliche Systeme wird von Hertz in H. 1, Nr. 36, 42, 43 angewandt.
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Gentzen, G. Über die Existenz unabhängiger Axiomensysteme zu unendlichen Satzsystemen. Math. Ann. 107, 329–350 (1933). https://doi.org/10.1007/BF01448897
Received:
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF01448897