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Literatur
Vgl Pasch, Vorlesungen über neuere Geometrie, 1. Aufl. 1882, 2. Aufl. bei Springer 1926. Vgl. insbes. § 1.
Nicht nur die Definition vongestaltlichen Eigenschaften (vgl. meinen Bericht über die Dimensionstheorie, Jahresbericht d. deutsch. Mathem. Ver.35, insbes. S. 119), sondern auch die Definition derelementarsten Beziehungen, welche, wie z. B. die Zwischenbeziehung, dadurch definiert werden, daß sie gewissen Beziehungen noch einfacherer Natur genügen, — auch diese Definitionen sind einin gewissen Maße willkürliches Umgrenzen der zu definierenden Beziehung gegenüber anderen, welches nur durchAngleichung an den natürlichen Sprachgebrauch und gewisseZweckmäßigkeitsgründe bestimmt wird, und demnach nicht nur formal, sondern auch inhaltlichin verschiedener Weise erfolgen kann. Beispielsweise weicht unser Zwischenbegriff vom elementargeometrischen etwas ab (siehe unten). Wo es sich darum handelt, die beiden auseinanderzuhalten, wäre etwa unser “zwischen” als “metrisch zwischen” zu bezeichnen.
Trans. Am. Math. Soc.18 (1917), S. 301.
Unser (vom elementargeometsischen abweichende) Zwischenbegriff ist, wie noch erwähnt werden möge, auch einer Anwendung auf die Erfahrungswelt fähig. Betrachten wir etwa das Netz der europäischen Schnellzugslinien. Es entspricht der Ausdrucksweise von Reisenden, alsAbstand zweier Städte die (etwa in Stunden gemessene) Dauer der schnellsten Fahrt zwischen den beiden Orten zu bezeichnen. Sehen wir dann ab von den praktisch meist zu vernachlässigenden Unterschieden zwischen der Fahrtdauer vonA nachB und der Fahrtdauer vonB nachA, so bilden vermöge dieser Abstandsdefinition die Stationen offenbar einen die Dreiecksungleichung erfüllenden metrischen Raum. Es entspricht wieder einer gebräuchlichen Ausdrucksweise, von der StadtB zu sagen, sie liegezwischen den StädtenA undC, wenn man vonA ohne Umweg viaB nachC gelangen kann, d. i. aber, präzis gesprochen, wenn für die AbständeAB+BC=AC gilt. Es liegt dann beispielsweise zwischen Wien und Amsterdam sowohl Frankfurt a. M. als auch Leipzig, obwohl Frankfurt weder zwischen Wien und Leipzig noch zwischen Leipzig und Amsterdam und obwohl Leipzig weder zwischen Wien und Frankfurt noch zwischen Frankfurt und Amsterdam liegt. Und es liegt Erfurt zwischen Frankfurt a. M. und Leipzig, also zwischen zwei Städten, die zwischen Wien und Amsterdam liegen, ohne selbst zwischen Wien und Amsterdam zu liegen, weil eine schnelle Verbindung von Amsterdam und Wien via Erfurt nicht existiert.
Durch die angegebene Konvexitätsdefinition wird (vgl. Einleitung S. 76) scheinbar zum erstenmal eine spezifisch metrische gestaltliche Eigenschaft metrischer Räume erfaßt.
[Zusatz bei der Korrektur:] Allgemeinere diesbezügliche Sätze habe ich in der Notiz “Über konvexe Hüllen” (Wiener akad. Anz. 1928, Nr. 11) bewiesen.
AlsHyperebene desR n bezeichnen wir einen Teil-R n−1 desR n , also einen linearen Teilruam, dessen Dimension um 1 geringer ist als die des Gesamtraumes.
AlsR 0, als nulldimensionalen euklidischen Raum, bezeichnen wir einen aus einem einzigen Punkt bestehenden Raum.
[Zusatz bei der Korrektur:] Einen kurzen Beweis eines allgemeineren Theorems gab ich in den “Bemerkungen zur zweiten Untersuchung über allgemeine Metrik” (Proc. Ac. Amsterdam,30, S. 710).
Vgl. z. B. R. H. Schouten, Mehrdimensionale Geometrie2, (Samml. Schubert36), S. 123.
Übrigens ließe sich diese Bedingung, obwohl ihre Gültigkeit für euklidische (n+3)-Tupel nicht nur hinreichend, sondern auchnotwendig ist, vermutlich durch eine wesentlich schwächere Bedingung ersetzen, die bereits hinreichend wäre.
[Zusatz bei der Korrektur]: Daraus (und übrigens schon aus den Überlegungen von S. 131) geht zugleich hervor,daß ein pseudo-euklidisches Punktsystem in keinen euklidischen Raum irgend einer Dimension abstandstreu einbettbar ist.
[Zusatz bei der Korrektur]: Vgl. über diese und verwandte Probleme meine inzwischen erschienenen Bemerkungen, Proc. Ac. Amsterdam30, S. 710, sowie Wiener akad. Anz. 1928, Nr. 12.
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Menger, K. Untersuchungen über allgemeine Metrik. Math. Ann. 100, 75–163 (1928). https://doi.org/10.1007/BF01448840
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