This is a preview of subscription content, log in via an institution to check access.
Literatur
D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie, Leipzig-Berlin. Unter dem Hilbertfchen Vollftändigkeitsaxiom verftehen wir die Form, die fich in der 2.–6. Aufl. findet, nicht die “Lineare Faffung” der 7. Aufl. 1930. Vgl. u. Ann. 27)..
Vgl. z. B. O. Helmer, Axiomatifcher Aufbau der Geometrie (=Schriften des math. Sem. und des Inft. f. angew. Math. der Univ. Berlin II, 6), 1935.
Im Sinne von R. Carnap, Logifche Syntax der Sprache. Wien 1934. Die Begriffsbildungen diefes Werkes werden im folgenden zugrunde gelegt.
Zu diefer Auffaffung der Axiomatik vgl. R. Carnap, Abriß der Logiftik. Wien 1929. § 30. Ferner: Unterfuch. zur allg. Axiomatik. “Erkenntnis” I, S. 303–307, 1930.
“Erkenntnis” V, S. 80 f., 1935.
D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie, 7. Aufl., Anhang VI.
f. R. Carnap, Abriß der Logiftik, § 35.
Diefe Faffung des Korrelator-Begriffs weicht von den üblichen dadurch ab, daß zugelaffen wird, daß im Vorbereich vonK auch Elemente, die nicht zum Felde vonF gehören, und im Nachbereich auch Elemente auftreten, die nicht im Felde vonG liegen.
B. Ruffell, Einführung in die mathematifche Philofophie. Dtfch. von Gumbel u. Gordon. München21930.
Dies find die “Abftraktionsklaffen” in bezug auf die 2-ftellige Gleichheitsbeziehung “Äquivalenz von Paaren”. Vgl. dazu R. Carnap, Abriß der Logiftik, § 20.
Die Definition diefer Relationen läßt fich leicht formalifieren. Definitionen diefer Art ftellen eine Verallgemeinerung des Verfahrens der Definition durch Abftraktionsklaffenbildung auf beliebige2n-ftellige Gleichheitsbeziehungen dar. (Eine BeziehungF (a, b, c, d) heißt z. B. eine 4-ftellige Gleichheitsbeziehung, wenn fie die drei Bedingungen 1.(a) (b) (c) (d) (F (a, b, c, d) ⊃ F (a, b, a, b)), 2.(a) (b) (c) (d) (F (a, b, c, d) ⊃ F (c, d, a, b)), 3.(a) (b) (c) (d) (e) (f) (F (a, b, c, d). F (c, d, e, f) ⊃ F (a, b, e, f)) erfüllt.) Eine ausführliche Behandlung findet diefes Definitionsverfahren bei H. Scholz und H. Schweitzer, Die fogenannten Definitionen durch Abftraktion. Eine Theorie der Definition durch Bildung von Gleichheitsverwandfchaften (=Forfchungen zur Logiftik und zur Grundlegung der exakten Wiffenfchaften, hrsg. v. H. Scholz, Heft 3), Leipzig 1935.
Wir unterfcheiden die StreckeAB von der StreckeBA.
Vergleichen wir die BeziehungKl g nicht mitKl v , fondern mit deren Konverfer, alfo der GrößerrelationGr v für Vektoren, fo ift 1. und 2. erfüllt, dennKl g undGr v find im üblichen Sinne ifomorph zueinander und die Feldelemente vonGr v find diefelben wie die vonKl v . 3. ift dagegen nicht erfüllt.
Kl g undGr v und ebenfoKl g undGr g (vgl. Anm. 13a) Vergleichen wir die BeziehungKl g nicht mitKl v , fondern mit deren Konverfer, alfo der GrößerrelationGr v für Vektoren, fo ift 1. und 2. erfüllt, dennKl g undGr v find im üblichen Sinne ifomorph zueinander und die Feldelemente vonGr v find diefelben wie die vonKl v . 3. ift dagegen nicht erfüllt. find einftufig ifomorph, aber nicht zweiftufig ifomorph, und daher nicht vollftändig ifomorph.
Die Strukturen find Relationen der in Anm. 11) Die Definition diefer Relationen läßt fich leicht formalifieren. Definitionen diefer Art ftellen eine Verallgemeinerung des Verfahrens der Definition durch Abftraktionsklaffenbildung auf beliebige2n-ftellige Gleichheitsbeziehungen dar. (Eine BeziehungF (a, b, c, d) heißt z. B. eine 4-ftellige Gleichheitsbeziehung, wenn fie die drei Bedingungen 1.(a) (b) (c) (d) (F (a, b, c, d) ⊃ F (a, b, a, b)), 2.(a) (b) (c) (d) (F (a, b, c, d) ⊃ F (c, d, a, b)), 3.(a) (b) (c) (d) (e) (f) (F(a, b, c, d). F (c, d, e, f) ⊃ F (a, b, e, f)) erfüllt.) Eine ausführliche Behandlung findet diefes Definitionsverfahren bei H. Scholz und H. Schweitzer, Die fogenannten Definitionen durch Abftraktion. Eine Theorie der Definition durch Bildung von Gleichheitsverwandfchaften (= Forfchungen zur Logiftik und zur Grundlegung der exakten Wiffenfchaften, hrsg. v. H. Scholz, Heft 3), Leipzig 1935. befprochenen Art.
“Reihe” im Sinne von A. N. Whitehead und B. Ruffell, Principia Mathematica, I–III, Cambridge21925–1927.* 204.
Sind ‘u, v, ..., w, F, G, ..., H’ und ‘x, y, ..., z, J, K, ..., L’, wo die ‘u’ ..., ‘z’ Individuen-, die ‘F’, ..., ‘L’ Prädikatvariablen feien, zwei Variablenreihen, die durch ‘M’ und ‘N’ abgekürzt find, fo ift ‘M ⊂ N’ Abkürzung für ‘u=x. v=y. ... w=z. F⊂J. G⊂K ... H⊂L’.
Vgl. R. Carnap, Abriß der Logiftik. § 22d.
H. Behmann, Mathematik und Logik, Leipzig-Berlin 1927, S. 41 ff.; und R. Carnap, Abriß der Logiftik, § 11 f.
f. Anm. 6). D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie, 7. Aufl., Anhang VI.
A. Fraenkel, Einführung in die Mengenlehre, Berlin31928.
Principia Mathematica,*122,*263.
Unter einem Zykel mitn Elementen verftehen wir eine eineindeutige Relation, deren Feld aus Einer gefchloffenenR-Familie mitn Elementen befteht. Vgl. R. Carnap, Abriß der Logiftik, § 25c. Im Grenzfalln=∞ entfteht eine eineindeutige, anfangs- und endlofe Relation, die aus Einer offenenR-Familie befteht.
Die hier auftretenden Probleme find weiterverfolgt in F. Bachmann, Die Fragen der Abhängigkeit und der Entbehrlichkeit in Axiomenfyftemen, in denen ein Extramalaxiom auftritt. Erfcheint in den Veröffentlichungen des Erften Kongreffes für wiffenfchaftliche Philofophie, Paris 1935.
R. Baldus, Zur Axiomatik der Geometrie I. Über Hilberts Vollftändigkeitsaxiom. Math. Ann. 100, S. 321–333, 1928.—Die Formulierungen des Vollftändigkeitsaxioms bei Baldus erwecken den Anfchein, als fei diefes Axiom nicht eine Satzfunktion, fondern eine (gefchloffene) Ausfage über alle Modelle des Axiomenfyftems. Dann wäre das Axiom aber ein entfcheidbarer und fogar (wenn man nicht, wie Baldus es merkwürdigerweife an einigen Stellen tut, ein Stetigkeitsaxiom in das Vollftändigkeitsaxiom aufnimmt) ein kontradiktorifcher Satz.
Läßt man aber das Archimedifche Axiom im Maximalmodellaxiom fort, fo entfteht ein unerfüllbares Axiomenfyftem; läßt man es überdies noch in dem Rumpf-Axiomenfyftem fort, fo ift das fo entftehende (nochmals verfchärfte) Axiomenfyftem ‘I–IV (M). Max m (I–IV; M)’ a fortiori unerfüllbar—im Gegenfatz zu dem folgenden Satz von P. Finsler (Erwiderung auf die vorftehende Note des Herrn Baer, Math. Ztfchr. 27, S. 542): “Ergänzt man die Hilbertfchen Axiomgruppen I bis IV durch das Vollftändigkeitsaxiom, läßt aber das Archimedifche Axiom beifeite, fo erhält man eine Geometrie, die logifch nicht widerfpruchsvoll ift, aber einen fo paradoxen Charakter zeigt, daß man bei ihr leicht zu fcheinbaren Widerfprüchen gelangt.”
F. Bachmann, Unterfuchungen zur Grundlegung der Arithmetik mit befonderer Beziehung auf Frege, Dedekind und Ruffell (=Forfchungen zur Logiftik und zur Grundlegung der exakten Wiffenfchaften, hrsg. v. H. Scholz, Heft 1), Leipzig 1934, § 14.
in D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie 7 1930, § 8.
Daher müffen auch die Fragen, ob ein Axiom im räumlichen oder im linearen Vollftändigkeitsaxiom entbehrt werden kann, fcharf unterfchieden werden.
in einem Gefpräch auf dem Parifer Kongreß 1935.
Vgl. die analoge Bemerkung zu der Definition für ‘analytifch in II’ in: R. Carnap, Logifche Syntax, § 34, und die Durchführung diefer Definition in: R. Carnap, Ein Gültigkeitskriterium für die Sätze der klaffifchen Mathematik. Monatsh. Math. Phys. 42 S. 163–190, 1935, hierzu S. 174.
Zu diefer, bisher nicht üblichen, aber in mancher Hinficht zweckmäßigen Sprachform gehört das Syftem von W. v. O. Quine, A. Syftem of Logiftic. Cambridge, Maff., 1934.—Die in den “Principia Mathematica” angewendete fog. fyftematifche Mehrdeutigkeit ift dagegen nicht hierher zu rechnen. Denn dort wird an der ftarren Typeneinteilung feftgehalten. Die Schreibung ‘α⊂α’ wird nur als abkürzende Zufammenfaffung für die folgende unendliche Reihe von Sätzen aufgefaßt, wobei der obere Index die Stufenzahl angeben foll: ‘α(1)⊂(2)α(1)’, ‘α(2)⊂(3)α(2)’ ufw.
Vgl. R. Carnap, Logifche Syntax, § 53, mit Hinweis auf Hilbert und Gödel; und A. Tarfki, Der Wahrheitsbegriff in den formalifierten Sprachen. Studia Philofophica, 1, S. [1]–[145], 1935, hierzu S. [136] f.
Author information
Authors and Affiliations
Rights and permissions
About this article
Cite this article
Carnap, R., Bachmann, F. Über Extremalaxiome. Erkenntnis 6, 166–188 (1936). https://doi.org/10.1007/BF02538231
Issue Date:
DOI: https://doi.org/10.1007/BF02538231