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Sulla connessione delle superficie razionali reali

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Annali di Matematica Pura ed Applicata (1898-1922)

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  1. Fondamenti per la geometria sopra le superficie razionali dal punto di vista reale [Mathematische Annalen, LXIII (1912), pp. 1–72]. Questa Memoria verrà nel seguito indicata con F.

  2. Ometto qui citazioni dettagliate, riservandole al testo. Cfr. la nota (17).

  3. Cfr. il lavoro diEnriques, citato alla nota (1).

  4. Una condizione, avente carattere generale, intesa a stabilire quando si possa affermare cheF è unilatera, fu data daEnriques:Alcune osservazioni intorno alle superficie razionali reali [Rendiconti della R. Accademia di Bologna, XVI (1912), pp. 70–73]. Trattasi però d’una condizionesufficiente, utile tuttavia in casi speciali.

  5. Queste condizioni sono necessarie e sufficienti perchèS si possa considerare come imagine del sistema delle sezioni piane od iperpiane d’una superficieF diS r (cfr. F. § 2, n.i 6, 12).

  6. Castelnuovo, Appendice alla Memoria diEnriques,Sui piani doppi di genere uno [Memorie della Società Italiana delle Scienze (detta dei XL) (3), 10 (1896), pp. 201–224], p. 222. L’enunciato qui riprodotto trovasi al n.o 7, p. 208 della Memoria. Cfr. F. n.o 24.

  7. Cfr.Ferretti,Sulla riduzione all’ordine minimo dei sistemi lineari di curve piane irriducibili di genere p; in particolare per i valori 0, 1, 2del genere [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, XVI (1912), pp. 236–279], Teor. VII, X, XII.

  8. Castelnuovo,Sulle superficie di genere zero [Memorie della Società Italiana delle Scienze (detta dei XL), X (1896), pp. 103–123], p. 109.

  9. Non è certa l’esistenza d’un tal sistema |C |. Cfr.Castelnuovo, loc. cit. (5).

  10. Loco cit. (6). Cfr. i teoremi III, IV, V e le relative dimostrazioni, da cui dipendono i risultati dei teoremi VII, X, XII.

  11. Cfr.Poincaré,Analysis Situs [Journal de l’École Polytechnique (2), I (1895), pp. 1–123], p. 10. L’illustre A. suppone però che le funzioni ϑ i delle (1) sianoanalitiche. Le condizioni da noi imposte al contorno della parte comune adE,E 1 introdotte per evitare che nelle falde considerate si presentino punti o linee dibiforcazione, risultano in tal caso superflue.

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  12. Ciò si può p. es. ricavare, con qualche lieve aggiunta, dalla dimostrazione diPoincaré, loco cit. (14), p. 11, 14. Si potrebbe dimostrare che nella definizione data sopra rientrano anche le falde delle superficie algebriche dotate dilinee multiple ordinarie, ma per ora ciò a noi non preme perchè ci riserviamo di precisare in seguito, mediante la risoluzione delle singolarità per le superficie razionali, il comportamento di esse di fronte alle proprietà di connessione. Se si volesse estendere la definizione anche alle falde con singolarità isolate, bisognerebbe considerare anche il caso che, nelle (l), la matrice funzionale dellex rispetto alleu, v fosse nulla in qualche punto dell’areaA. Cfr. H. v.Mangoldt,Die Begriffe «Linie/it »und «Fläche » [Encyclopädie der Math. Wiss., ecc., Leipzig, Teubner (1907), III1, pp. 130–152], p. 150.

  13. La considerazione delle proprietà inerenti alla connessione, sotto questo punto di vista — ch’è il più generale — trovasi, almeno per superficie finite, inMöbius,Theorie der elementaren Verwandschaft [Gesammelte Werke, Leipzig, Hirzel (1886)], Bd. II, p. 435, e successivamente in varî Autori, fra cui crediamo di dover citareJordan,Sur la déformation des surfaces [Journal de Mathématiques pures et appliquées (2), XI (1866), pp. 105–109] che considera le trasformazioni biunivoche, ecc. (nel campo finito) come equivalenti (per definizione) alle deformazioni (con estensione), ePoincaré, loco cit. (14), p. 7–9, che introduce la denominazione di «homéomorphes » per due superficie o varietà equivalenti nel senso suddetto. Per il caso di superficie infinite — ch’è poi il nostro, — la distinzione fra il punto di vista più generale, ed altri punti di vista particolari, fu messa in luce daKlein,Ueber den Zusammenhang der Flächen [Mathematische Annalen, XI (1876), pp. 476–482], pp. 479, che introdusse la denominazione diassolute per quelle proprietà di connessione che rimangono invariate di fronte alle trasformazioni più generali, e direlative per quelle che non si alterano, soltanto se si opera con un gruppo particolare di trasformazioni aventi ad es. relazione collo spazio o con qualche varietà collegata alla data. Cfr.Dyck,Beiträge zur Analysis Situs [Mathematische Annalen, XXXII (1888), pp. 457–512], p. 457. Sono ad esempioproprietà relative quelle che si riferiscono al punto di vistaproiettivo della connessione, cioè che rimangono invariate perdeformazioni nel campo finito e collineazioni reali e che sono state considerate dallo stessoKlein nei lavoriUeber Flächen dritter Ordnung [Mathematische Annalen, VI (1873), pp. 551–581] da p. 578 a 581,Bemerkungen über den Zusammenhang der Flächen [Mathematische Annalen, VII (1874), pp. 549–557]. In relazione a tale punto di vista le falde si possono distinguere indispari, pari con curve dispari epari senza curve dispari. Cosí ad esempio l’iperboloide ad una falda ed iltoro sono due falde pari, di cui la prima contiene curve dispari (generatrici) e la seconda no; e pertanto essesono distinte dal punto di vista proiettivo, mentre, come vedremo,non lo sono dal punto di vista assoluto. Un altro punto di vista, che si potrebbe dirmetrico, è quello nel quale i punti improprî delle falde si considerano comefrontiere, pur rimanendo la possibilità di poter deformare le falde nel campo finito: ad esso possono ascriversi i lavori diSeveri,Sulla forma delle rigate cubiche [Atti del R. Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti, LXII (1903), pp. 863–879] eTorelli (R.),Sulle proprietà di connessione delle superficie monoidali [Atti della R. Accademia di Scienze Fisiche e Matematiche di Napoli (2), XIV (1910)]. Nel primo di questi lavori si trovano alcuni tipi metrici di rigate cubichebilatere, mentre, come si vedrà, tali rigate sono, dal punto di vista assoluto.tutte unilatere.

  14. Loco cit. (14),, § 8.

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  15. È noto che tal distinzione si deve aMöbius,Bestimmung des Inhalts eines Polyëders [Werke, Bd. II, pp. 476–512], pp. 483–485,Zur Theorie der Polyëder und Elementarverwandschaft [Ibid. Bd. II (Nachlass), pp. 517–559], I.Einseitige Polyëder, pp. 519–521, III.Flächen und Polyëder höherer Classen, p. 552; però, come abbiamo sopra accennato, l’uso dell’indicatrice fu introdotto daKlein nella citata MemoriaUeber den Zusammenhang, ecc. dei Math. Ann. XI. Il primo studio completo sulle superficie unilatere fu fatto daDyck nei citatiBeiträge.

  16. Questa proprietà del piano illimitato fu esplicitamente notata daKlein in un’osservazione contenuta nella citata MemoriaUeber Flächen, ecc., dei Math. Ann. VI, relativa ad un lavoro diSchläfli,Quand’è che dalla superficie generale di terzo ordine si stacca una parte che non sia realmente segata da ogni piano reale? [Annali di Matematica (2), V (1871–73), pp. 289–295]; e chiarita ulteriormente daSchläfli,Correzione, ecc. (alla Memoria precedente) [Annali di Matematica (2), VII (1875–76), pp. 193–196] e dallo stessoKlein nella citata Memoria dei Math. Ann. VII a p. 550.

  17. Si badi bene che un taglio chiuso eseguito lungo un circuito riducibile per deformazione continua ad un punto non equivale ad un buco in quanto spezza la falda su cui è eseguito indue parti. Cfr. in proposito la Nota (24).

  18. Per la definizione stabilita dalla (3) cfr.Dehn edHeegaard,Analysis Situs [Encyclopädie der Math. Wissenschaften, ecc. (Leipzig, Teubner, 1907), III1, pp. 153–220], pp. 195–196. Il numero caratteristico fu definito in altro modo e studiato daDyck nei citatiBeiträge, dove trovasi enunciato e dimostrato il principio d’addizione; va però notato che il numeroK″ diDyck è eguale e di segno contrario al nostroK.

  19. Cfr.Dehn edHeegaard, loco cit. (23). p. 199,Dyck, loco cit. (17), pp. 477–479,De Paolis,Teoria dei gruppi geometrici e delle corrispondenze che si possono stabilire fra i loro elementi [Memorie della Società Italiana delle Scienze (detta dei XL), VII (1890), pp. 82–84]. In questa Memoria non si trovano le formole (5), ma formole analoghe nelle quali, in luogo diK comparisce quello che l’Autore chiamanumero fondamentale, ch’è poi il nostro ordine di connessione.

  20. È noto che il concetto e la definizione di ordine di connessione per le falde bilatere risalgono aRiemann che nellaInauguraldissertation (Göttingen, 1851) dal titoloGrundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grössen [Gesammelte Mathematische Werke (Leipzig, Teubner, 1876), pp. 3–47] chiaman−m+2 volte connessa una falda bilateraaperta che sia divisa inm pezzi dan tagli trasversali. Per le faldechiuse lo stesso Autore nellaTheorie der Abel’schen Funktionen [Werke, pp. 81–135], p. 87, conviene di considerare come ordine di connessione il numero 2p+1, cioè quello della falda aperta che si ottiene dalla data praticandovi un piccolo buco. Cfr.Appell etGoursat,Théorie des fonctions algébriques et de leurs intégrales [Paris, Gauthier Villars, 1895], Cap. V. Una tale convenzione è da molti punti di vista impropria ed incomoda, e per primoSchläfli la modificò nella MemoriaUeber die Relationen zwischen den 2p Kreiswegen erster Art und den 2p zweiter Art in der Theorie der Abel’schen Funktionen der Herren Clebsch und Gordan [Journal für reine und angewandte Mathematik, LXI (1873), pp. 149–155], Nota a p. 152, assumendo come ordine di connessione d’una falda chiusa il numero Riemannianodiminuito di una unità. Tale modificazione fu accettata e ulteriormente giustificata daKlein,Bemerkungen, ecc. (citata), Nota a p. 550, che chiamò «ungewöhnlich » il nuovo ordine di connessione,Dyck,Beiträge, ecc. (citata), pp. 483–485,Neumann C.,Vorlesungen über Riemann’s Theorie der Abel’sche Integrale [Leipzig, Teubner, 1884], Cap. VII, § 6 e 15. Differisce invece dalle precedenti la definizione diDe Paolis, loco cit. (25), p. 84, benchè il suonumero fondamentale coincida col nostro ordine di connessione; invero questo Autore assume come ordine di connessioneper le falde chiuse il numero fondamentaleaumentato di due unità. Per il caso delle falde unilatere l’ordine di connessione fu per la prima volta definito (in modo esplicito) daDyck nella Memoria più volte citata, p. 485, in relazione al punto di vista diKlein-Schläfli (cfr. le citazioni della nota (21)) ch’è quello di ridurre bilatera ogni falda unilatera considerandola comedoppia, cioè contando ogni punto una volta come appartenente ad una faccia, e una seconda come appartenente all’altra. Tale ordine di connessioneZ′ è legato dalla relazioneZ′=2Z−2 (che avremo occasione di considerare in una ulteriore Nota) a quello da noi definito in accordo colle citate opere diNeumann, De Paolis. La formola (8) trovasi per la prima volta nella citata Memoria diSchläfli,Ueber, ecc., Nota a p. 152; dimostrazioni di essa (relative a differenti punti di partenza per la definizione diZ) si trovano nel trattato diNeumann a p. 160, teor. VIII e nella Memoria diDe Paolis a p. 78–79.

  21. Per il significato delle locuzioni qui usate rimandiamo al § 3, n.o 11.

  22. Vedi p. es.Severi,Lezioni di Geometria Algebrica [Padova, Draghi (1908)], n.o 79, pp. 272–277.

  23. Questo teorema fu stabilito, per le falde bilatere daJordan, loco cit. (17), per quelle unilatere daDyck, loco cit. (17). Una dimostrazione indipendente dall’assegnare « a priori » i modelli delle falde unilatere (come ha fatto ilDyck) può leggersi nel citato Articolo dell’Enciclopedia diDehn edHeegaard.

  24. Bemerkungen, ecc. (citata), pp. 556–557. La dimostrazione qui esposta è una semplificazione di quella diKlein, il quale tratta senz’altro il caso generale, lasciando però qualche dubbio per la validità del ragionamento nel caso che esistano punti fondamentali infinitamente vicini. Si badi che, volendosi porre dal punto di vista del suddetto Autore, s se Φ è unilatera edF bilatera, bisogna considerare quest’ultima come insieme di due falde distinte e contare Φ come doppia, cioè porre nella (9) 2Z−2 in luogo diZ, 2m, 2n invece dim, n, e sostituire aZ 1 l’ordine di connessioneZ′1 di (Schläfli)Klein-Dick. Si ha alloraZ′1+2n=2Z−2+2m, cioèZ′1=2Z 1=2 (cfr. la Nota (26)).

  25. La denominazione 7`e diDe Paolis, loco cit. (25), n.o 117, p. 69, ma la considerazione di tali intrecci, e di altri, detti daDe Paolis intrecci di 2. a specie, è dovuta aDyck, loco cit. (17), p. 473.

  26. Cfr.Dehn edHeegaabd, loco cit. (23), pp. 199–202.

  27. Loco cit. (14),, § 5. Se alle paroleun circuito C il quale si sostituiscono le altreun circuito C tale che esso o un suo conveniente multiplo intero (con che si ammetteper definizione che dalla omologiam C ∼ 0 si traggaC ∼ 0) si ottiene un’altra definizione dovuta allo stessoPoincaré,Complément à l’Analysis Situs [Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, XIII (1899), pp. 285–343], pp. 285–287.

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  28. Cfr. p. es.Severi, loco cit. (28), p. 273. S’intende che durante la deformazione il circuito si potrà spezzare in più parti. Riterremo lecito nel seguito aggiungere aC delle linee percorse una volta in un senso e una volta nell’altro, giacchè si prova subito che, con ambedue le definizioni, se èC∼0, lo è anche il circuitoC′ dedotto e reciprocamente.

  29. Poincaré, loco cit. (14),Poincaré,, § 9, dimostra, per le falde bilatere, la sufficienza di tal condizione; però il ragionamento dell’Autore (inteso a provare che se èN (CD)=0 èC∼0 nel senso sopra riportato) non è rigoroso. Vedi la Memoria dello stesso Autore citata (35).

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  30. Per il significato di questa locuzione cfr.Severi, loco cit. (28), p. 273.

  31. Severi,La base minima pour la totalité des courbes tracées sur une surface algébrique [Annales de l’École Normale Supérieure de Paris, XXV (1908), pp. 449–468]. Se la faldaF si considera come doppia, con che, come si è già osservato, bisogna assumerne l’ordine di connessione eguale a 2 (Z−1), si prova che ogni circuito chiuso di essa è omologo ad una combinazione lineare dei 2(Z−1) circuiti 2C 2, ..., 2C Z ,C 1+C 2, ...,C 1+C Z che, suF doppia, sono indipendenti.

  32. Il confronto fra l’iperboloide ad una falda ed il toro, dal punto di vista della connessione, istituito in modo erroneo daSchläfli nella citata MemoriaQuand’è, ecc., fu ripreso daKlein nei citati lavori dei Math. Ann. VI (pp. 578–581) e VII, p. 552. In quest’ultima Memoria l’Autore si pone dal nostro punto di vista e trova gli stessi risultati.

  33. Per il significato delle locuzioni qui usate cfr.Severi,Sulla totalità delle curve tracciate sopra una superficie algebrica [Mathematische Annalen, Bd. LXII (1906), pp. 194–225].

  34. Severi, loco cit. (39), § 7.

  35. Cfr.Enriques, loco cit. (1).

  36. I valori ottenuti perZ coincidono con quelli assegnali daSchläfli nel lavoroCorrezionc, ecc. (citato (21)), non con quelli diKlein,Ueber, ecc. (citata (17)), in quanto ivi l’Autore parte dall’assegnare all’ordine di connessione del piano il valore 2, e neppure con quelli dell’altra Memoria diKlein,Bemerkungen, ecc., che si riferiscono all’ordine di connessioneZ′=2Z−2 delle superficie unilatere considerate come doppie.

  37. Zeuthen,Sur les courbes du quatrième ordre [Mathematische Annalen, VII (1873), pp. 410–432].

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  1. Padova

    Annibale Comessatti

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  1. Annibale Comessatti
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Comessatti, A. Sulla connessione delle superficie razionali reali. Annali di Matematica, Serie III 23, 215–284 (1914). https://doi.org/10.1007/BF02419577

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