Summary
We prove some integral representation theorems for the Γ limit in L1 of sequences of the form\(\int\limits_\Omega {f_h (x,Du)}\) dx in coercivity and bounded growth hypothesis which are optimal as it is checked with examples. These results are utilized to describe the L1 lower semicontinuous envelope of a given functional. We consider also the stability of Γ limits with respect to obstacle type perturbations and prove the homogenization formulas in conditions more generals of those already considered by several authors.
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References
G. Anzellotti - M. Giaquinta,Funzioni BV e tracce, to appear.
A. Ambrosetti -C. Sbordone,Γ-convergenza e G-convergenza per problemi non lineari di tipo ellittico, Boll. Un. Mat. Ital. (5),12-A (1976), pp. 352–362.
I. Babuska,Solution of interface problems by homogenization, SIAM J. Math. Anal.,7 (1976), pp. 603–634, (I) and pp. 635–645, (II).
I. Babuska,Homogenization and its applications. Mathematical and computational problems, Proc. Symp. Numerical Solution of Partial Diff. Equat., III, Maryland (1975), Acad. Press, 1976, pp. 89–116.
A. Bamberger,Approximation des coefficients d'opérateurs elliptiques, stable pour la G-convergence, Rapport interne, Ecole Polytechnique, 1977.
N. Bakbalov,Averaging of partial differential equations with rapidly oscillating coefficients, Soviet Math. Dokl.,16 (1975), pp. 351–355.
A. Bensoussan -J. L. Lions -G. Papanicolau,Sur quelques phénomènes asymptotiques stationnaires, C. R. Acad. Sc. Paris,281 (1975), pp. 89–94.
A. Bensoussan - J. L. Lions - G. Papanicolau,Asymptotic Methods in Periodic Structures, North Holand, 1978
L. Boccardo -I. Capuzzo Dolcetta,G-convergenza e problema di Dirichlet unilaterale, Boll. Un. Mat. Ital.,12 (1975), pp. 115–123.
L. Boccardo -P. Marcellini,Sulla convergenza delle soluzioni di disequazioni variazionali, Annali Mat. Pura Appl.,110 (1976), pp. 137–159.
G. Buttazzo,Su una definizione generale dei Γ-limiti, Boll. Un. Mat. Ital., (5)14-B (1977), pp. 722–744.
M. Carriero -E. Pascali,Γ-convergenza di integrali non negativi maggiorati da funzionali del tipo dell'area, Ann. Univ. Ferrara, VII, (24) (1978), pp. 51–64.
L. Carbone,Sur la Γ-convergence des integrales du type de l'énergie à gradient borné, J. Math. Pures Appl.,56, 1 (1977).
L. Carbone,Γ-convergence d'integrales sur des fonctions avec des contraintes sur le gradient, Comm. in P.D.E.,2 (6) (1977), pp. 627–651.
L. Carbone -C. Sbordone,Un teorema di compattezza per la Γ-convergenza di funzionali non coercitivi, Rend. Acc. Naz. Lincei (1977), Ser. VIII, vol. LXII,6, pp. 744–748.
G. Dal Maso,Alcuni teoremi sui Γ limiti di misure, Boll. Un. Mat. Ital. (5),15-B (1978), pp. 182–192.
E. De Giorgi,Sulla convergenza di alcune successioni di integrali del tipo dell'area, Rend. Mat. Roma,8 (1975), pp. 277–294.
E. De Giorgi,Γ-convergenza e G-convergenza, Boll. Un. Mat. Ital.,14-A (1977), pp. 213–220.
E. De Giorgi -T. Franzoni,Su un tipo di convergenza variazionale, Rend. Acc. Naz. Lincei Roma,58, no. 6 (1975), pp. 842–850.
E. De Giorgi -G. Letta,Une notion générale de convergence faible pour des fonctions croissantes d'ensemble, Annali Sc. Norm. Sup. Pisa,4 (1977), pp. 61–69.
E. De Giorgi -S. Spagnolo,Sulla convergenza degli integrali dell'energia per operatori ellittici del secondo ordine, Boll. Un. Mat. Ital.,8 (1973), pp. 391–411.
I. Ekeland -R. Temam,Analyse convexe et problèmes variationnels, Dunod, Gauthier-Villars, 1974.
J. L. Joly,Une famille de topologies sur l'ensemble des fonctions convexes pour lesquelles la polarité est bicontinue, J. Math. Pures Appl.,52 (1973), pp. 421–441.
J. L. Joly -F. De Thelin,Convergence of convex integrals in L p spaces, J. Math. Anal. Appl.,54 (1976), pp. 230–244.
J. L. Lions,Sur quelques questions d'analyse, de mécanique et de control optimal, Univ. de Montreal, 1976.
J. L. Lions,Asymptotic behaviour of solutions of variational inequalities with highly oscillating coefficients, Lecture Notes in Math. 503, Springer, (1976), pp. 30–55.
P. Marcellini,Su una convergenza di funzioni convesse, Boll. Un. Mat. Ital.,8 (1973), pp. 137–158.
P. Marcellini,Un teorema di passaggio al limite per la somma di funzioni convesse, Boll. Un. Mat. Ital.,11 (1975), pp. 107–12.
P. Marcellini,Periodic solutions and homogenization of non linear variational problems, Annali di Matem. Pura Appl. (4),7 (1978), pp. 139–152.
P. Marcellini -C. Sbordone,An approach to the asymptotic behaviour of elliptic-parabolic operators, J. Math. Pures Appl.,56 (1977), pp. 157–182.
P. Marcellini -C. Sbordone,Homogenization of Non-Uniformly Elliptic Operators, Applicable Analysis,8 (1978), pp. 101–113.
P. Marcellini -C. Sbordone,Sur quelques questions de G-convergence et d'homogénéisation non linéaire, Comptes Rendus Ac. Sc. Paris,284 (1977), pp. 535–537.
A. Marino -S. Spagnolo,Un tipo di approssimazione dell'operatore D i (a ij D j )con operatori D j (βD j), Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa,23 (1969), pp. 657–673.
M. Matzeu,Su un tipo di continuità dell'operatore sub-differenziale, Boll. Un. Mat. Ital. (5)14-B (1977), pp. 480–490.
L. Modica -S. Mortola,Un esempio di Γ-convergenza, Boll. Un. Mat. Ital. (5),14-B (1977), pp. 285–299.
L. Modica -S. Mortola,La Γ-convergenza di una famiglia di funzionali ellittici, Boll. Un. Mat. Ital. (5)14-A (1977), pp. 526–529.
C. B. Morrey,Multiple integrals in the Calculus of Variations, Springer, 1966.
G. Moscariello,Su una convergenza di successioni di integrali del Calcolo delle Variazioni, Rend. Acc. Naz. Lincei,61, no. 5 (1976), pp. 368–375.
U. Mosco,Convergence of convex sets and of solutions of variational inequalities, Advances in Math.,3 (1969), pp. 510–585.
U. Mosco,An introduction to the approximate solution of variational inequalities, Corso C.I.M.E., II Ciclo 1971, Ed. Cremonese, 1973, pp. 499–685.
F. Murat,Sur l'homogeneisation d'inéquations elliptiques du 2éme ordre, relatives au convexe K(ψ 1, ψ2)={v ∈ H 10 (Ω): ψ1≤v≤ψ2 p.p.dans Ω}, to appear.
E. Sanchez Palencia,Un type de perturbations singulières dans les problèmes de transmission, C. R. Acad. Sc. Paris,268, série A (1969), pp. 1200–1202.
E. Sanchez Palencia,Comportement limite d'un problème de transmission à travers une plaque mince et faiblement conductrice, C. R. Acad. Sci Paris,270, série A (1970), pp. 1026–1028.
E. Sanchez Palencia,Solutions périodiques par rapport aux variables d'espace et applications, C. R. Acad. Sc. Paris,271, série A (1970), pp. 1129–1132.
E. Sanchez Palencia,Equations aux dérivées partielles dans un type de milieux hétérogènes, C. R. Acad. Sc. Paris,272 (1971), pp. 1410–1411.
E. Sanchez Palencia,Comportement local et macroscopique d'un type de milieux physiques hétérogènes, Int. J. Engng. Sc.,12 (1974), pp. 331–351.
E. Sanchez Palencia,Problèmes de perturbations liés aux phénomènes de conduction à travers des couches minces de grande résistivité, J. Math. Pures Appl.,53 (1974), pp. 251–270.
C. Sbordone,Sulla G-convergenza di equazioni ellittiche e paraboliche, Ricerche di Mat.,24 (1975), pp. 76–136.
C. Sbordone,Su alcune applicazioni di un tipo di convergenza variazionale, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa,2 (1975), pp. 617–638.
C. Sbordone,Sur une limite d'integrales polynômiales du calcul des variations, J. Math. Pures Appl.,56 (1977), pp. 67–77.
J. Serrin,On the definition and properties of certain variational integrals, Trans. Amer. Math. Soc.,101 (1961), pp. 139–167.
S. Spagnolo,Sul limite delle soluzioni di problemi di Cauchy relativi all'equazione del calore, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa,21 (1967), pp. 657–699.
S. Spagnolo,Sulla convergenza di soluzioni di equazioni paraboliche ed ellittiche, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa,22 (1968), pp. 577–597.
S. Spagnolo,Some convergence problems, Symp. Math. Conv. Alta Mat., Roma, Marzo 1974,18 (1976), pp. 391–398.
S. Spagnolo,Convergence in energy for elliptic operators, Proc. 3-rd Symp. Numer. Sol. P.D.E., Maryland, (1976), pp. 469–498.
S. Spagnolo,Convergence of parabolic equations, Boll. Un. Mat. Ital. (5),14-B (1977), pp. 547–568.
L. Tartar,Quelques remarques sur l'homogénéisation, Université de Paris-Sud/Orsay, 1976.
L. Tartar,Convergence d'operateurs differentiels, Analisi convessa e applicazioni, Quaderni dei gruppi di ricerca matematica del C.N.R., Ist. Mat. G. Castelnuovo, Roma.
H. Whitney,On totally differentiable and smooth functions, Pacific J. Math.,1 (1951), pp. 143–159.
Added in proof
P. Marcellini -C. Sbordone,Relaxation of non convex variational problems, Rend. Acc. Naz. Lincei, Ser. VIII, vol. LXIII,5 (1977), pp. 341–344.
P. Marcellini -C. Sbordone,Dualità e perturbazione di funzionali integrali, Ric. di Mat.,26 (1977), pp. 383–421.
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Entrata in Redazione il 10 gennaio 1978.
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Carbone, L., Sbordone, C. Some properties of Γ-limits of integral functionals. Annali di Matematica 122, 1–60 (1979). https://doi.org/10.1007/BF02411687
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02411687