On the limit superior of sequences of sets

Abstract

qVЕРхНИИ пРЕДЕл пОслЕД ОВАтЕльНОстИ МНОжЕс тВA _n ОпРЕДЕльЕтсь сООтНО шЕНИЕМ$\mathop {\lim sup}\limits_{n \to \infty } A_n = \mathop \cap \limits_{k = 1}^\infty \mathop \cup \limits_{n = k}^\infty A_n . B$ стАтьЕ РАссМАтРИВА Етсь слЕДУУЩИИ ВОпРО с: ЧтО МОжНО скАжАть О ВЕРхНИх пРЕДЕлАх$\mathop {\lim sup}\limits_{k \to \infty } A_{n_k }$, еслИ ИжВЕстНО, ЧтО пРЕсЕЧЕНИь$\mathop \cap \limits_{k = 1}^\infty A_{n_k }$ «МАлы» Дль кАж-ДОИ пОДпОслЕДОВАтЕльНОстИ$(A_{n_k } )$? ДОкАжыВАЕтсь, Ч тО

• А) ЕслИ$\mathop \cap \limits_{k = 1}^\infty A_{n_k }$ — кОНЕЧНОЕ МНО жЕстВО Дль кАжДОИ пОДпОслЕДОВАтЕльНОстИ$(A_{n_k } )$, тО НАИДЕтсь тАкАь пОДпО слЕДОВАтЕльНОсть, Дл ь кОтОРОИ МНОжЕстВО$\mathop {\lim sup}\limits_{k \to \infty } A_{n_k }$ сЧЕтНО;

• Б) ЕслИ$2^{\aleph _0 } = \aleph _1$, тО сУЩЕстВУЕ т тАкАь пОслЕДОВАтЕл ьНОсть (A_n), ЧтО$\mathop \cap \limits_{k = 1}^\infty A_{n_k }$ — сЧЕтНОЕ МНОжЕстВО Дль лУБОИ п ОДпОслЕДОВАтЕльНОстИ$(A_{n_k } )$, НО$\mathop {\lim sup}\limits_{k \to \infty } A_{n_k }$ ИМЕЕт МОЩ-НОсть кОНтИНУУМА;

• В) ЕслИA _n — БОРЕлЕ ВскИЕ МНОжЕстВА В НЕкОтОРО М пОлНОМ сЕпАРАБЕльНО М МЕтРИЧЕскОМ пРОстРАНстВЕ, И$\mathop \cap \limits_{k = 1}^\infty A_{n_k }$ — сЧЕт НОЕ МНОжЕстВО Дль кАж ДОИ пОДпОслЕДОВАтЕльНОстИ$(A_{n_k } )$, тО сУЩЕстВУЕт тАкАь п ОДпОслЕДОВАтЕльНОсть, ЧтО$\mathop {\lim sup}\limits_{k \to \infty } A_{n_k }$ — сЧЕтНОЕ МНОжЕстВО. кРОМЕ тОгО, ДОкАжАНО, Ч тО В слУЧАьх А) И В) В пОслЕДОВАтЕльНОстИ (A _n ) сУЩЕстВУЕт схОДьЩА ьсь пОДпОслЕДОВАтЕльНО сть.

кРОМЕ тОгО, ДОкАжАНО, Ч тО В слУЧАьх А) И В) В пОслЕДОВАтЕльНОстИ (А _n ) сУЩЕстВУЕт схОДьЩ Аьсь пОДпОслЕДОВАтЕльНО сть.