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References
Die vorliegende Arbeit ist unabhängig von der in den “Monatsh. f. Math. u. Phys.”, Jahrg. 1910, S. 3–60, unter dem Titel “Untersuchungen über die Geometrie der Speere in der Euklidischen Ebene” vom selben Verfasser veröffentlichten Abhandlung.
Étude des élassoïdes, Bruxelles Mém. cour. 44 (1880).
Geom. der Dynamen, Leipzig 1903, S. 230.
“Die komplexen Bewegungen”, Leipziger Berichte 1903, S. 384–408.
G. d. D., § 23, S. 195 u. f.
“Duale Zahlen und ihre Anwendung in der Geometrie”, Monatsh XVII. 1906, S. 81–136. Die genannten Arbeiten von Ribaucour, Weber und Grünwald werden später nur mit den Namen der Autoren zitiert.
Vgl. G. d. D. § 27., § 23, S. 195 u. f.
Siehe den ersten Band der Vorlesungen über ausgewählte Kapitel der Geometrie. Leipzig 1911.
Segre: Le rappresentazioni reali delle forme complesse ..., Math. Annalen, XL. (1892) und Study: Sugli enti analitici. Rend. di Palermo 1906.
Vgl. Enzyklopädie d. m. W., III A B 4b. G. Fano: Nr. 24, S. 347.
Durch den Querstrich deuten wir den Übergang zu konjugiert-komplexen Figuren oder zu konjugiert-komplexen Werten an.
Wir beschränken also vorläufig den Begriff des Speeres auf reelle, eigentliche, orientierte Gerade.
Die Ausdrücke “syntaktisch” und “antitaktisch” sind von Herrn Study eingeführt worden. Man kann die angeführten Ausnahmen dadurch beseitigen, daß man mit Herrn Grünwald “unendlich-große” duale Größen einführt. Doch läuft dies natürlich nur darauf hinaus, für einen Grenzübergang eine abkürzende Bezeichnung einzuführen.
Der Querstrich deutet auch hier den Zeichenwechsel voni (und nicht etwa von ε) an.
Vgl. Geom. der Dynamen, S. 205.
Diese Bewegung bildet einen Sonderfall der allgemeinsten Bewegung des Raumes, bei der jeder Punkt allgemeiner Lage einen Kegelschnitt durchläuft Vgl. die Note III von Darboux in der Cinématique von Koenigs. Paris 1897, bes. Nr. 2, S. 353 u. f.
In Studys Kinematik wird diese Bewegung als eindimensionale Kette von Somen bezeichnet. Vgl. Geom. d. Dynamen, Anhang.
Die Terminologie ist der des Herrn Study nachgebildet.
Näheres bierüber in § 10, wo sich auch ein anderer Beweis für unseren Lehrsatz findet.
Diese Bezeichnungen sind denen des Herrn Segre nachgebildet. Man könnte vielleicht besser “Gegenbewegung” und “Gegenumlegung” sagen, doch wollen wir hier die obige Terminologie anwenden, um die Analogie mit späteren Überlegungen (§ 9, § 10) besser hervortreten zu lassen.
Vgl. oben S. 216.
Die SpeereN i , N *i sind natürlich im allgemeinen einander inS→S * nicht zugeordnet.
Vgl. Ribaucoura. a. a. O. S. 44, J. Grünwald a. a. O., Duale Zahlen in der Geom. Monatshefte 17. (1906) S. 129.
Es sei daran erinnert, daß die Gruppe der Ähnlichkeitstransformationen im reellen Gebiete gemischt, im komplexen hingegen kontinuierlich ist.
AuchG 12, (G 12,H (1)12 sind in (G 14,H 14) invariant enthalten, nicht aber (G 12,H (2)12 ), und (G 12,H (3)12 ).
Ribaucour a. a. O. Weber und Grünwald werden später nur mit den Namen der Autoren zitiert, S. 94, J. Grünwald a. a. O., Duale Zahlen in der Geom. Monatshefte 17. (1906), S. 131, 132.
Vgl. bei J. Grünwald § 19, Duale Zahlen in der Geom. Monatshefte 17. (1906) S. 132 u. f. Ich habe mir hier erlaubt, die Terminologie des Herrn Grünwald, von der a. a. O. ja fast gar kein Gebrauch gemacht ist, völlig umzustoßen.
Diese Formel ist (für die Ebene) angegeben bei E. Study, Vorlesungen über ausgewählte Gegenstände der Geometrie, 1. Bd.
Trägt man allgemeiner Strecken ab, die zu den Verteilungsparametern in konstantem Verhältnis stehen, so liegen die Endpunkte auf einer Kugel durch den Äquatorkreis der Garbe.
SollteS in einer dieser Ebenen liegen, so tritt an Stelle des Schnittpunktes der Berührungspunkt mit dem Äquatorkreis.
Diese Erzeugung der Ketten hat J. Grünwald angegeben a. a. O. Vgl. bei J. Grünwald §19, S. 132 u. f. Ich habe mir hier erlaubt, die Terminologie des Herrn Grünwald, von der a. a. O. ja fast gar kein Gebrauch gemacht ist, völlig umzustoßen. S. 134.
Vgl. J. Grünwald a. a. O. Vgl. bei J. Grünwald § 19, S. 132 u. f. Ich habe mir hier erlaubt, die Terminologie des Herrn Grünwald, von der a. a. O. ja fast gar kein Gebrauch gemacht ist, völlig umzustoßen. S. 135.
Dies wurde von Herrn J. Grünwald anscheinend übersehen.
Lie, Göttinger Nachrichten, Mai 1871 und Math. Ann. 5. Bd. (1872), S. 186.
Vgl. die Abhandlung des Verfassers “Zur Geometrie der Speere in der Euklidischen Ebene”, Monatsh. 1910, S. 3.
Diese Festsetzung machen wir nur hier für den Augenblick, und zwar aus naheliegenden Gründen.
Vgl. § 5 und die Abh. des Verf. “Zur Geom. der Speere in der Ebene”, Monatshefte f. Math. XXI. (1910) bes. S. 15.
Man vgl. Geom. d. Dynamen § 27, bes. S. 272. Ferner Study, die Elemente 2. Ordnung ..., Leipzig Ber. 53 (1901), S. 338 und Enzyklopädie d. m. W. III, AB, 4 b, Fano S. 338, Nr. 19.
Geom. der Dynamen § 27. Vgl. auch die Arbeit des Verfassers “Unters. zur Geom. d. Speere in der Euklidischen Ebene”, Monatsh. 1910, bes. § 11, S. 52.
Dies ist bereits bei J. Grünwald angedeutet a. a. O., Vgl. bei J. Grünwald § 19, S. 132 u. f. Ich habe mir hier erlaubt, die Terminologie des Herrn Grünwald, von der a. a. O. ja fast gar kein Gebrauch gemacht ist, völlig umzustoßen. S. 135.
Dieselben Vertauschungen erleiden die Punkte derM 3 auch schon durch die Abbildungen der Gruppe (G 13,H 13).
Man Vgl. den Lehrsatz III in Study (Circolo mat. di Palermo 1906) Sugli enti analitici.
Vgl. §4 (2*).
Es genügt natürlich, wenn wir, wie das hier geschehen ist, dies für eine beliebig herausgegriffene Minimalebene nachweisen, da durch die reellen Bewegungen die Minimalebenen transitiv vertauscht werden, gerade so wie durch die zugehörigen Kollineationen derM 4 deren reelle, eigentliche Punkte.
Die Terminologie ist der des Herrn Study in der Geom. der Dynamen nachgebildet. Vgl. dort S. 290.
Hierbei bedeuten dieS nicht etwa auch komplex-duale Größen, sonst wären die Formeln unrichtig.
Es sei hier nochmals daran erinnert, daß der Querstrich den Zeichenwechsel voni und nicht etwa von ε andeutet.
Geom. d. Dynamen § 28.
Vgl. a. a. O. Geom. d. Dynamen § 290.
Siehe die Einleitung des ersten Bandes von Studys Vorlesungen über ausgewählte Kapitel der Geometrie. Leipzig 1911.
Vgl. hier und im folgenden die Abhandlung: Sugli enti anatici. Rend. del Circolo Matematico di Palermo, 1906. Deutsch als Anhang des zweiten Bandes von Studys Vorl. über ausgew. Gegenstände d. Geom. Leipzig 1911.
Man braucht von den transformierenden reellen Funktionen nur Stetigkeit und einmalige Differenzierbarkeit vorauszusetzen.
Man braucht von den transformierenden reellen Funktionen nur Stetigkeit und einmalige Differenzierbarkeit vorauszusetzen.
Vgl. Ribaucour a. a. O., Weber und Grünwald werden später nur mit den Namen der Autoren zitiert. § 27, oder Enzyklopädie III, D 5, R. v. Lilienthal, Nr. 30, S. 331.
Bei Ribaucour finden sich hierüber unrichtige Angaben. Man vgl. a. a. O. § 29. S. 35. Weber und Grünwald werden später nur mit den Namen der Autoren zitiert.
Vgl. Geom. d. Dynamen S. 198, 199 oder auch J. Grünwald a. a. O. S. 101–103, § 6. Weber und Grünwald werden später nur mit den Namen der Autoren zitiert.
Unter einer asymptotischen Ebene eines Speerbandes in einem SpeereS von allgemeiner Lage, soll diejenige Ebene durchS verstanden werden, die zu dem benachbarten Speer des Bandes parallel gestellt ist.
Über diese und andere Eigenschaften der synektischen Membranen vgl. die Geom. der Dynamen, S. 305 u. f.
Vgl. die analoge Eigenschaft (A) der Transformationen aus der Gruppe (G 12,H (1)12 ,H (2)12 ,H (3)12 ), die in §3 näher erläutert worden ist. Natürlich ist der zweite Teil des dort angegebenen Satzes (A) als spezieller Fall in unserem jetzigen Lehrsatze enthalten.
Einige dieser Beziehungen sind sehr ausführlich in anderer Form bei Herrn J. Grünwald (a. a. O. § 14, S. 118) behandelt, wo die GruppeG schon untersucht worden ist. Weber und Grünwald werden später nur mit den Namen der Autoren zitiert.
Man vgl. etwa die Arbeit des Verfassers: “Geometrie der Speere in der Ebene”. Monatshefte XXI., Jahrg. 1910, bes. S. 10.
Siehe ebendort S. 13. Eine andere Verallgemeinerung der äquilongen Gruppe der Ebene findet man behandelt in meiner Note: “Über einige unendliche Gruppen von Transformationen orientierter Ebenen” im Archiv für Math. 1910. S. 182–189.
Man vgl. hier und später des Verfassers “Untersuchungen über die Geometrie der Speere in der Euklidischen Ebene”, Monatshefte XXI (1910).
Siehe a. a. O. Eine andere Verallgemeinerung der äquilongen Gruppe der Ebene findet man behandelt in meiner Note: “Über einige unendliche Gruppen von Transformationen orientierter Ebenen” im Archiv für Math. 1910. S. 14, 15, 16.
Siehe a. a. O. Eine andere Verallgemeinerung der äquilongen Gruppe der Ebene findet man behandelt in meiner Note: “Über einige unendliche Gruppen von Transformationen orientierter Ebenen” im Archiv für Math. 1910. S. 14, 15.
Vgl. a. a. O. Eine andere Verallgemeinerung der äquilongen Gruppe der Ebene findet man behandelt in meiner Note: “Über einige unendliche Gruppen von Transformationen orientierter Ebenen” im Archiv für Math. 1910. S. 7.
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Blaschke, W. Zur Geometrie der Speere im Euklidischen Raume. Monatsh. f. Mathematik und Physik 21, 201–307 (1910). https://doi.org/10.1007/BF01693226
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