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References
Es ist an und für sich gleichgültig, ob man ein Funktionselement betrachtet, das im Punktz=0 regulär ist, wie es gewöhnlich geschieht, oder eines, das im Punktz=∞ regulär ist, wie es hier geschieht. Ich mache den Übergang vonz zu 1/z jetzt, um ihn nicht später, bei der Betrachtung der Tschebyscheffschen Polynome, an unbequemerer Stelle machen zu müssen.
Vgl. z. B. G. Pólya und G. Szegö, Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis (Berlin 1925), Bd. 2, S. 102–105, 304–306.
Vgl. J. Hadamard, La série de Taylor et son prolongement analytique (2. Aufl., unter Mitwirkung von M. Mandelbrojt) (Paris 1926), Bd. 1, S. 77–83.
G. Pólya, Über Potenzreihen mit ganzzahligen Koeffizienten, Math. Annalen77 (1916), S. 497–513;
F. Carlson, Über Potenzreihen mit ganzzahligen Koeffizienten, Math. Zeitschr.9 (1921), S. 1–13.
G. Pólya, Sur les séries entières à coefficients entiers, Proceedings of the London Math. Society (2)21 (1922), p. 22–38. Vgl. ferner
G. Pólya, Arithmetische Eigenschaften und analytischer Charakter, Jahresbericht d. deutsch. Math. Ver.31 (1922), S. 107–115
G. Szegö, Tschebyscheffsche Polynome und nich-fortsetzbare Potenzreihen, Math. Annalen87 (1922), S. 90–111.
M. Fekete, Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten Math. Zeitschr.17 (1923), S. 228–249. Ein wesentlicher Spezialfall schon bei G. Faber, Über Tschebyscheffsche Polynome, Journal für die reine u. angew. Math.150 (1920), S. 70–106. Vgl. ferner G. Szegö, Bermerkungen zu einer Arbeit von Herrn M. Fekete, Math. Zeitschr.21 (1924), S. 203–208.
Der transfinite Durchmesser der leeren Menge sei, definitionsgemäß, =0.
L. Fejér, Über die Lage der Nullstellen von Polynomen, die aus Minimum-forderungen gewisser Art entspringen, Math. Annalen85 (1922), S. 41–48.
Ein Spezialfall hiervon ist der bei Szegö,——a. a. O. 5), S. 208, Fußnote 3) angegebene Satz.
——Vgl.a. a. O. 10) S. 25–26.
——Vgl. z. B.a. a. O. 2). Bd. II, Aufgaben 3, 4 auf S. 98 und 299–300.
——Vgl. z. B.a. a. O. 2) Bd. II, Aufgaben 141, 142 auf S. 25 und S. 199. Auf Grund der Resultate von 3c) wurde ein äquivalenter Satz schon vorher durch G. Szegö auf ähnliche Art bewiesen Vgl. a. a. O. 4d)G. Pólya, Arithmetische Eigenschaften und analytischer Charakter, Jahresbericht d. deutsch. Math. Ver.31 (1922), S. 110, Fußnote 2). Für einen auf die (auch hier benutzte) Größenordnung der Tschebyscheffschen Polynome in direkter Weise zurückgreifenden Beweis vgl. G. Faber, Über Potentialtheorie und konforme Abbildung, Sitzungsber. d. Bayer. Akad. (1920), S. 49–64, insbes. S. 56–58.
Für den Determinantensatz ——vgl. z. B.a. a. O. 2), Bd. I Aufgabe 68, S. 48 und S. 208. Eine allgemeinere Ungleichung findet sich bei G. Szegö, A. Hankel-féle formákról, Math. és természettudományi értesitö36 (1918), S. 497–538, vgl. S. 514. In dieser Arbeit ist übrigens der asymptotische WertA (k)0 für die Funktion (29) genauer bestimmt als hier durch (22) geschehen ist. Für die spezielle Funktion (20) findet sich übrigens eine (22) enthaltende genauere Abschätzung schon bei D. Hilbert, Ein Beitrag zur Theorie des Legendreschen Polynoms, Acta Math.18 (1894), S. 155–159.
——Vgl. z. B.a. a. O. 2), Aufgabe 121, S. 21 und S. 195.
——A. a. O. 4e), Satz 7, S. 109.
A. Ostrowski, Über Potenzreihen, die überkonvergente Abschnittsfolgen besitzen, Sitzungsberichte d. preußischen Akademie (1923) S. 185–192, Satz II.
——Vgl. a. a. O. 4c) S. 23–24 oder a. a. O. 2) B. G. Pólya und G. Szegö, Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis (1925) 2, S. 102–105, Aufgabe 24, S. 103, und S. 305.
——In 4a) ; 4b) F. Carlson, Über Potenzreihen mit ganzzahligen Koeffizienten, Math. Zeitschr.9 (1921), S. 1–13; und 4e) G. Szegö, Tschebyscheffsche Polynome und nicht-fortsetzbare Potenzreihen, Math. Annalen87 (1922), wurden Kriteria benutzt, die in (30) als Spezialfälle enthalten sind, nämlich fürk=n undk=n+1; dies entspricht dem Sonderfall ϰ=1/2 von (4). Das in 4c) G. Pólya, Sur les séries entières à coefficients entiers, Proceedings of the London Math. Society (2)21 (1922) benutzte Kriterium entspricht dem Sonderfall ϰ=1 von (4) und unterscheidet sich von (8) in derselben Spezialisierung, wie das in 4c) G. Pólya, Sur les séries entières à coefficients entiers, Proceedings of the London Math. Society (2)21 (1922) erreichte Resultat von dem Ergebnis des Textes: Es wurde derzeit\(\mathfrak{A}\) der (mit dem Satz V der Nr. 1 zusammenhängenden) Restriktion unterworfen, daß entweder die Komplementärmenge von\(\mathfrak{A}\) oder die von\(\mathfrak{A}'\) einfach zusammenhängend ist.
——Vgl a. a. O. 4a), S. 508. Rationalzahlig heißt: entweder sind allec 0,c 1,c 2,... rational im gewöhnlichen Sinne, oder sie sind alle einem quadratisch-imaginären Körper\(\mathfrak{k}\) entnommen, zu dem dann auch die später zu erwähnende ganze Zahlc gehören muß.
——A. a. O. 4c), S. 32–34.
Aus dem schon einmal zitierten Satz——a. a. O. 15) ; der Schluß ist ausgeführt in 4c) G. Pólya, Sur les séries entières à coefficients entiers, proceedings of the London Math. Society (2)21 (1922) S. 34.
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Pólya, G. Über gewisse notwendige Determinantenkriterien für die Fortsetzbarkeit einer Potenzreihe. Math. Ann. 99, 687–706 (1928). https://doi.org/10.1007/BF01459120
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