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References
Alexandroff, Dimensionstheorie. Math. Annalen 106 (1932), 5. Hauptsatz.
H. Hopf, Die Klassen der Abbildungen dern-dimensionalen Polyeder auf dien-dimensionale Sphäre, Comm. math. Helv. 5 (1932), Satz III.
Unter der Bettischen Gruppe eines RaumesF verstehen wir hier die duale Gruppe zurr-dimensionalen Zyklosis von L. Pontrjagin, Über den algebraischen Inhalt topologischer Dualitätssätze, Math. Annalen 106 (1931), insbesondere S. 198. Für einen Komplex stimmt diese Gruppe mit der freien oder reduzierten Bettischen Gruppe überein (vgl. Pontrjagin, a. a. O., Über den algebraischen Inhalt topologischer Dualitätssätze, Math. Annalen 106 (1931) S. 168–169).
Wir bemerken andererseits, daß in den von uns betrachteten Spezialfällen die Untersuchung der Menge aller Abbildungsklassen vonF aufM auf das Studium der Homologie-Eigenschaften vonF zurückgeführt wird.
Man zeigt leicht: Ist die GruppeM direktes Produkt vonM 1 undM 2, so istG M(F) direktes Produkt vonG M 1(F) undG M 2(F). Infolgedessen gestatten die obigen Sätze, z. B.G T n(F) durchB(F) auszudrücken, wennT n dern-dimensionale Torus ist (in bekannter Weise als Gruppe aufgefaßt).
H. Hopf, Über die Abbildung der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche, Math. Annalen104 (1931), Satz V.
A. a. O.2), Satz II.
A. a. O.7), Beweis des Satzes Va.
Der Kürze halber lassen wir im weiteren Verlauf des Beweises das ArgumentK 3 in den Gruppen weg.
A. a. O.2), § 6.
Denn istq die Quaternion mit den Komponentenx 0,x 1,x 2,x 3 auf der durchx 20 +x 21 +x 22 +x 23 =1 gegebenenS 3, so hatq −1 die Komponentenx 0,−x 1,−x 2,−x 3; die Abbildung, die alle Quaternionen in ihre Inversen überführt, entsteht also durch Spiegelung an drei Ebenen und hat daher den Grad −1.
A. a. O.2), Satz 1.
A. a. O.2), S. 176.
Im Sinne von Alexandroff, Untersuchungen über Gestalt und Lage abgeschlossener Mengen, Annals of Math. (2)30 (1929), S. 101–187, insbesondere S. 107.
A. a. O.2), S. 194–195.
A. a. O.15), S. 104, 115 u. f.
Pontrjagin und Tolstowa, Math. Annalen105 (1931), S. 739.
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Bruschlinsky, N. Stetige Abbildungen und Bettische Gruppen der Dimensionszahlen 1 und 3. Math. Ann. 109, 525–537 (1934). https://doi.org/10.1007/BF01449153
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