Abstract
The notion of an elliptic plane given 1975 by K. Sörensen [S1] will be extended to the notion of a “generalized elliptic space”. Each such elliptic space is derivable from a generalized euclidean space in the sense of H.-J. Kroll and K. Sörensen [KS]. For the case that the euclidean resp. elliptic space has the dimension 3 resp. 2 there is a one to one correspondence between these structures and quaternion fields. Each quaternion field of characteristic ≠ 2 defines in a natural way a 4-dimensional euclidean and a 3-dimensional elliptic space. But, in general, we do not obtain in this way all 4- resp. 3-dimensional geometries. The geometries derivable from quaternion fields will be characterized. Both of these two classes of geometries are provided with different structures, so that there are different automorphism groups, which will be studied.
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References
BACHMANN, F.: Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff. 1959 Berlin-Heidelberg-New York, 2. Auflage 1973
KARZEL, H.: Gruppentheoretische Begründung metrischer Geometrien. Vorlesungsausarbeitung von G. Graumann, Hamburg 1963
KARZEL, H.: Bericht über projektive Inzidenzgruppen. Jber. DMV Bd.67 (1965), 58–92
KARZEL, H.: Zur Begründung euklidischer Räume. Mitt. der Math. Ges. in Hamburg,XI (1985), 355–368
KARZEL, H., and KROLL, H.-J.: Eine inzidenzgeometrische Kennzeichnung projektiver kinematischer Räume. Arch. Math.26 (1975), 107–112
KARZEL, H., KROLL, H.-J., and SÖRENSEN, K.: Invariante Gruppenpartitionen und Doppelräume. J. Reine Angew. Math.262/263 (1973), 153–157
KARZEL, H., KROLL, H.-J., and SÖRENSEN, K.: Projektive Doppelräume. Arch. Math.25 (1974), 206–209
KARZEL, H., SÖRENSEN, K., WINDELBERG, D.: Einführung in die Geometrie. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1973
KROLL, H.-J.: Zum. Begriff des euklidischen Raumes. Proc. of the Congress of Geometry, Thessaloniki (1987), 100–103
KROLL, H.-J., and SÖRENSEN, K.: Pseudo-euklidische Ebenen und euklidische Räume. J. Geom.8 (1976), 95–115
LENZ, H.: Zur Begründung der analytischen Geometrie. Bayer. Akad. Wiss. math.-nat. Kl. (1954), 17–72
PIANTA, S. and ZIZIOLI, E.: Collineation of geometric structures derived from quaternion algebras. J. Geom.37 (1990), 142–152
PIANTA, S. and Zizioli, E.: On the automorphism group of a generalized quaternion field. To appear
PODEHL, E. and REIDEMEISTER, K.: Eine Begründung der ebenen elliptischen Geometrie. Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg10 (1934), 231–255
SÖRENSEN, K.: Elliptische Ebenen. Mitt. Math. Ges. Hamburg10 (1976), 277–296
SÖRENSEN, K.: Über pseudo-affine Räume. J. Geom.31 (1988), 159–171
WÄHLING, H.: Kongruenzerhaltende Permutationen von Kompositionsalgebren. In: Beiträge zur geometrischen Algebra (Hrsg. H. J. Arnold, W. Benz, H. Wefelscheid) Basel 1977, 327–335
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Cordially dedicated to Herbert Zeitler on the occasion of his 70th birthday
Research supported by the NATO Scientific Affairs Division grant CRG 900103.
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Karzel, H., Pianta, S. & Stanik, R. Generalized euclidean and elliptic geometries, their connections and automorphism groups. J Geom 48, 109–143 (1993). https://doi.org/10.1007/BF01226804
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF01226804