Grundbegriffe der Thermodynamik

Zusammenfassung

In diesem Kapitel geht es darum, Vorgänge zu analysieren, bei denen der thermische Zustand eines Systems verändert wird: Daher der Name „Thermodynamik“. Wir werden zunächst untersuchen, unter welchen Umständen man eine Zustandsänderung im Detail beschreiben kann. Hierbei werden wir zwei grundsätzlich verschiedene Arten, Zustandsänderungen herbeizuführen, kennenlernen: reversible und irreversible Prozesse. Sodann werden wir die Eigenschaften von Zustandsgrößen allgemein definieren und dabei auf eine überaus wichtige neue Zustandsgröße, die Entropie, stoßen.

Als Beispiele werden wir einige spezielle Zustandsänderungen von Gasen betrachten, die ganz allgemein als Prototypen von Zustandsänderungen Bedeutung haben. Als Anwendung des Ganzen diskutieren wir die Wirkungsweise von Maschinen, mit deren Hilfe man Wärmeenergie in mechanische Arbeit umsetzen kann (Wärmekraftmaschinen). Schließlich werden wir noch einige neue Zustandsfunktionen definieren, die man auch als thermodynamische Potentiale bezeichnet. Diese Begriffe: Enthalpie, freie Energie und freie Enthalpie erweisen sich in Physik, Chemie und Technik als äußerst nützlich.

Aufgaben

8.1 Adiabatische Expansion der Luft.

a) Eine Luftmasse mit der Temperatur 20 °C und dem Druck 1 bar wird durch Transport vom Erdboden in die Atmosphäre auf einen Druck von 1/3 bar entspannt. Wie groß wird die Temperatur, wenn kein Wärmeaustausch mit der Umgebung stattfindet, d. h. das Volumen groß genug ist?

b) Föhnwetterlage: Eine von Süden her über den Alpenkamm strömende (trockene) Luftmasse besitze in der Höhe (z. B. 2800 m über NN) den Luftdruck $p_{1}=7,1\cdot 10^{4}$ Pa und die Temperatur $\vartheta_{1}=0$ °C. Hinter dem Gebirge sinkt sie ab und der Druck erhöht sich auf $p_{2}=98\,000$ Pa. Auf welchen Wert steigt die Temperatur?

8.2 Adiabatische Kompressibilität eines idealen Gases.

Wie groß ist die Kompressibilität (2.6) eines idealen Gases bei einer adiabatischen Zustandsänderung?

8.3 Zur Nützlichkeit des vollständigen Differentials.

Wasser besitzt bei $\vartheta=20$ °C und dem Druck $p_{0}=10^{5}$ Pa eine Kompressibilität $1/K=4,6\cdot 10^{-10}$ Pa${}^{-1}$ und einen Ausdehnungskoeffizienten $\beta=2,07\cdot 10^{-4}$ K${}^{-1}$. Wie groß ist der Spannungskoeffizient $1/p_{0}\cdot\partial p/\partial T|_{V}$ bei konstantem Volumen? (Die Zustandsgleichung lässt sich in der Form $p(V,T)$, $V(p,T)$ oder $T(p,V)$ schreiben. Welches vollständige Differential eignet sich zur Beantwortung der Frage?)

8.4 Kreisprozess mit Wärmezufuhr bei konstantem Druck.

Betrachten Sie folgenden Kreisprozess (Abb. 8.23): Ein ideales Gas mit dem Anfangsvolumen V ₁ und dem Anfangsdruck p ₁ wird adiabatisch auf das Volumen V ₂ und den Druck p ₂ komprimiert, wozu die Arbeit A ₁₂ nötig ist. Sodann wird bei konstantem Druck $p_{3}=p_{2}$ eine Wärmemenge Q ₂₃ zugeführt und eine Arbeit A ₂₃ geleistet, bis das Volumen V ₃ erreicht ist. Im dritten Schritt erfolgt eine adiabatische Expansion auf das Volumen $V_{4}=V_{1}$. Der letzte Schritt besteht aus einer Abkühlung bei konstantem Volumen V ₁, bis die Anfangstemperatur T ₁ erreicht ist.

a) Um welchen Faktor erhöht sich der Druck beim Übergang vom Punkt 1 zum Punkt 2 und wie groß ist die Temperatur T ₂, wenn T ₁, $V_{1}/V_{2}$ und κ vorgegeben sind? Welches ist die höchste in dem Kreisprozess auftretende Temperatur? Zahlenbeispiel: $V_{1}/V_{2}=18$, $V_{3}/V_{2}=1,3$, $\kappa=1{,}3$, $T_{1}=350$ K.

b) Geben Sie A ₁₂, Q ₂₃, A ₂₃, sowie die Arbeit A ₃₄ des dritten Teilschritts als Funktionen der Temperaturen T ₁ bis T ₄ für 1 Mol an.

c) Zeigen Sie, dass sich der Wirkungsgrad des Kreisprozesses in der Form

$$\eta=1-\frac{1}{\left(V_{1}/V_{2}\right)^{\kappa-1}}\cdot\frac{\left(V_{3}/V_{2}\right)^{\kappa}-1}{\kappa\left(V_{3}/V_{2}-1\right)}$$

(8.72)

schreiben lässt. (Hinweis: Ersetzen Sie erst im Resultat für η die Verhältnisse $T_{1}/T_{2}$ und $T_{4}/T_{2}$ durch die Kompressionsverhältnisse $V_{2}/V_{1}$ und $V_{3}/V_{2}$).

d) Verifizieren Sie: Der Wirkungsgrad ist höchstens der Carnotsche Wirkungsgrad und Letzterer wird im Grenzfall $V_{3}\rightarrow V_{2}$ erreicht. (Hinweis: Der von $V_{3}/V_{2}$ abhängige Bruch in (8.72) ist größer gleich 1, was sich mit Hilfe einer Reihenentwicklung (Bd. I, Gl. (21.84)) um $V_{3}/V_{2}=1$ zeigen lässt).

Anmerkung: Der Unterschied zu dem im Abschn. 8.4 behandelten Modellprozess für den Otto-Motor besteht darin, dass die Wärmemenge hier erst nach der Kompression bei hohem Druck zugeführt wird. In einen Diesel-Motor wird Kraftstoff eingespritzt, der zum großen Teil erst während der Expansionsphase verbrannt wird. Daher entspricht der Diesel-Motor eher dem hier abgehandelten Kreisprozess als dem von Abb. 8.19.

Abb. 8.23

Kreisprozess mit Wärmezufuhr bei konstantem Druck

8.5 Bernoullische Gleichung.

Zeigen Sie, dass die Bernoullische Gleichung (3.9) für eine inkompressible Flüssigkeit als Spezialfall in (8.57) enthalten ist.

8.6 Kompressor.

Ein Kompressor verdichte kontinuierlich Luft vom Druck $p_{0}=10^{5}$ Pa auf den Druck $p_{1}=5\cdot 10^{5}$ Pa und liefere beim Druck p ₁ stündlich ${{\mathrm{d}}}V_{1}/{{\mathrm{d}}}t=20\,\mathrm{m^{3}/h}$ Druckluft. Es handele sich um einen Fließprozess gemäß (8.57).

a) Die Temperatur vor der Kompression bezeichnen wir mit T ₀ (z. B. $T_{0}=293$ K). Welche Bedingung muss der Leitungsquerschnitt A erfüllen, damit die vom Gas durch die Leitung transportierte kinetische Energie ${{\mathrm{d}}}\Updelta E_{\mathrm{kin}}/{{\mathrm{d}}}t$ klein ist im Vergleich zur vom Kompressor abgegebenen mechanischen Leistung $p_{1}{{\mathrm{d}}}V_{1}/{{\mathrm{d}}}t$?

b) Machen Sie zunächst die unrealistische Annahme, dass die Luft beim Austritt aus dem Kompressor die gleiche Temperatur hat wie beim Eintritt und vom Kompressor eine Wärmemenge ${{\mathrm{d}}}Q/{{\mathrm{d}}}t$ reversibel abgeführt wird. Vergleichen Sie die Enthalpien der Luft vor und hinter dem Kompressor. Wie groß sind die zugeführte mechanische Leistung und die abgeführte Wärmemenge pro Zeit?

c) Gehen Sie zum anderen Extremfall über: Die Kompression verläuft adiabatisch. Vergleichen Sie wiederum die Enthalpien vor und hinter dem Kompressor. Wie groß ist die erforderliche mechanische Leistung? (Benutzen Sie als Variable in der Rechnung den Druck p ₁, das Volumen V ₁ und das Druckverhältnis $p_{1}/p_{0}$ und eliminieren Sie T ₀. Drücken Sie außerdem C _V durch R und κ aus).

d) Im Fall c) ist die Temperatur T ₁ hinter dem Kompressor größer als T ₀. Auf dem Weg zur Entnahmestelle kühlt die Luft wieder ab und die Temperatur erreicht u. U. den alten Wert T ₀. Vergleichen Sie die Masse pro Zeit und das Volumen pro Zeit ${{\mathrm{d}}}V/{{\mathrm{d}}}t$ mit den Werten direkt hinter dem Kompressor, wenn kein Druckabfall während des Gastransports stattfindet. Auf welche Leistung müsste man den Kompressor bringen, damit die geforderten Werte für p ₁ und ${{\mathrm{d}}}V_{1}/{{\mathrm{d}}}t$ an der Entnahmestelle erreicht werden? Welcher grundlegende Sachverhalt spielt bei der größten der drei Leistungen b), c) und d) eine Rolle?