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Local Theory of Complex Spaces

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Several Complex Variables VII

Part of the book series: Encyclopaedia of Mathematical Sciences ((EMS,volume 74))

Abstract

A fundamental tenet of contemporary Complex Analysis is that geometric properties of complex spaces and algebraic properties of their structure sheaves are living in happy symbiosis. This introductory chapter is a rambling through basic notions and results of Local Complex Analysis based on local function theory, local algebra and sheaves. There are many advantages to develop the theory in a general context. Howerver, as in algebraic geometry, one has to burden oneself with a considerable load of technical luggage. Sheaves are a powerful and verstile tool, they provide the natural way of keeping track of continuous variations of local algebraic data on topological spaces. The revolutionary slogan of the fifties “il faut faiseautiser” is a truism long since.

Da es darauf ankommt, Begriffe auf Begriffe zu häufen, so wird es gut sein, so viele Begriffe als möglich in ein Zeichen zusammenzuhäufen. Denn hat man dann ein für alle Mal den Sinn des Begriffes ergründet, so wird der sinnliche Anblick des Zeichens das ganze Räsonnement ersetzen, das man früher bei jeder Gelegenheit wieder von vorn anfangen musste.

(Variation of a sentence of C.G.I. Jacobi)

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References

Monographs

  1. Abhyankar, S.: Local Analytic Geometry. Acad. Press 1964, Zb1. 205, 504.

    Google Scholar 

  2. Bânicâ, C. and Stânâsilâ, O.: Algebraic Methods in the Global Theory of Complex Spaces. Wiley 1976, Zb1.334.32001, Zb1. 284. 32006.

    Google Scholar 

  3. Bruns, W. and Vetter, U.: Determinantal Rings. Lect. Notes Math. 1327, Springer 1988, Zb1. 673. 13006.

    Google Scholar 

  4. Cartan, H.: Séminaire H. Cartan, Éc. Norm. Supér. 1950/51, 1953/54, 1960/61, Zb1. 116, 244.

    Google Scholar 

  5. Fischer, G.: Complex Analytic Geometry. Lect. Notes Math. 538, Springer 1976, Zb1. 343. 32002.

    Google Scholar 

  6. Godement, R.: Topologie algébrique et théorie des faisceaux, Hermann 1963, 3. ed, 1973, Zb1. 80, 162.

    Google Scholar 

  7. Grauert, H. and Remmert, R.: Analytische Stellenalgebren. Springer 1971, Zb1. 231. 32001.

    Google Scholar 

  8. Grauert, H. and Remmert, R.: Coherent Analytic Sheaves. Springer 1984, Zb1. 537. 32001.

    Google Scholar 

  9. Hirzebruch, F.: Neue Topologische Methoden in der Algebraischen Geometrie. Erg. Math., Springer 1956; translated and extended 1966 by R.L.E. Schwarzenberger, Topological Methods in Algebraic Geometry, last edition 1978, Zb1. 138, 420.

    Google Scholar 

  10. Kaup, L. and Kaup, B.: Holomorphic Functions of Several Variables. de Gruyter 1983, Zb1. 528. 32001.

    Google Scholar 

  11. Lojasiewicz, St.: Introduction to Complex Analytic Geometry. Birkhäuser 1991, Zb1. 747. 32001.

    Google Scholar 

  12. Osgood, W.F.: Lehrbuch der Funktionentheorie II.1, 2. Auflage, Teubner 1928, Jbuch 54, 326.

    Google Scholar 

  13. Serre, J-P.: Faisceaux algébriques cohérents, Ann. Math., II. Ser. 61, 197–278 (1955) Zb1.67,162; Œuvres I, 310–391.

    Google Scholar 

  14. Siu, Y-T.: Techniques of extension of analytic objects, Lect. Notes Pure Appl. Math., Marcel Dekker Inc. 1974, Zb1. 294. 32007.

    Google Scholar 

  15. Siu, Y-T. and Trautmann, G.: Gap — Sheaves and Extension of Coherent Analytic Subsheaves. Lect. Notes Math. 172, Springer 1971, Zb1. 208, 104.

    Google Scholar 

  16. Whitney, H.: Complex Analytic Varieties. Addison — Wesley 1972, Zb1. 265. 32008.

    Google Scholar 

Articles

  1. Abhyankar, S.: Concepts of order and rank on a complex space, and a condition for normality. Math. Ann. 141, 171–192 (1960) Zb1. 107, 150.

    Google Scholar 

  2. Abhyankar, S. and Van Der Put, A.: Homomorphisms of analytic local rings. J. Reine Angew. Math. 242, 26–60 (1970) Zb1. 193, 5.

    Google Scholar 

  3. Bingener, J. and Flenner, H.: Variation of the divisor class group. J. Reine Ang. Math. 351, 20–41 (1984) Zb1. 542. 14003.

    Google Scholar 

  4. Behnke, H. and Stein, K.: Modifikation komplexer Mannigfaltigkeiten und Riemannsche Gebiete. Math. Ann. 124, 1–16 (1951) Zb1. 43, 303.

    Google Scholar 

  5. Bingener, J.: Über die Divisorenklassengruppen lokaler Ringe. Math. Ann. 229, 173–179 (1977) Zb1. 338. 13016.

    Google Scholar 

  6. Bohnhorst, G.: Einfache holomorphe Abbildungen. Math. Ann. 275, 513–520 (1986) Zb1. 585. 32029.

    Google Scholar 

  7. Bosch, S.: Endliche analytische Homomorphismen. Nachr. Akad. Wiss. Göttingen, Math. — Phys. K1., 41–49 (1967) Zb1. 154, 37.

    Google Scholar 

  8. Brieskorn, E.: Examples of singular normal complex spaces which are topological manifolds. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 55, 1395–1397 (1966) Zb1. 144, 450.

    Google Scholar 

  9. Brieskorn, E.: Rationale Singularitäten komplexer Flächen. Invent. Math. 4, 336–358 (1968) Zb1. 219. 14003.

    Google Scholar 

  10. Bruns, W. and Schwänzl, R.: The number of equations defining a determinantal variety. Bull. Lond. Math. Soc. 22, 439–445 (1990) Zb1. 725. 14039.

    Google Scholar 

  11. Cartan, H.: Idéaux de fonctions analytiques de n variables complexes. Ann. Sci. Ec. Norm. Sup., III, Ser. 61, 149–197 (1948) Zb1.35,171; OEuvres II, 565–613.

    Google Scholar 

  12. Cartan, H.: Idéaux et modules de fonctions analytiques de variables complexes. Bull. Soc. Math. Fr. 78, 29–64 (1950) Zb1.38,237; OEuvres II, 618–653.

    Google Scholar 

  13. Cartan, H.: Quotient d’un espace analytique par un groupe d’automorphismes. Algebraic Geometry and Topology, A symposium in honor of S. Lefschetz, Princeton Math. Ser. 12, 90–102 (1957). Zb1.84,72; OEuvres II, 687–699.

    Google Scholar 

  14. Cartan, H.: Sur le théorème de préparation de Weierstrass. Arbeitsgemeinschaft Forsch. Nordrhein-Westf. 33, 155–168 (1966). Zb1.144,78; OEuvres II, 875–888.

    Google Scholar 

  15. Frisch, J.: Points de platitude d’un morphisme d’espaces analytiques complexes. Invent. Math. 4, 118–138 (1967) Zb1. 167, 68.

    Google Scholar 

  16. Grauert, H.: Charakterisierung der holomorph vollständigen komplexen Räume. Math. Ann. 129, 233–259 (1955) Zb1. 64, 326.

    Google Scholar 

  17. Grauert, H.: Ein Theorem der analytischen Garbentheorie und die Modulräume komplexer Strukturen. Publ. Math. Inst. Hautes Etud. Sci., N°5, 5–64 (1960) Zb1. 100, 80.

    Google Scholar 

  18. Grauert, H.: Über Modifikationen und exzeptionelle analytische Mengen. Math. Ann. 146, 331–368 (1962) Zb1. 173, 330.

    Google Scholar 

  19. Grauert, H. and Remmert, R.: Bilder und Urbilder analytischer Garben. Ann. Math., II, Ser. 68, 393–443 (1958) Zb1. 89, 60.

    Google Scholar 

  20. Grauert, H. and Remmert, R.: Komplexe Räume. Math. Ann. 136, 245–318 (1958) Zb1. 87, 290.

    Google Scholar 

  21. Hermes, H.: Analytische Mannigfaltigkeiten in Riemannschen Bereichen. Math. Ann. 120, 539–562 (1949) Zb1. 32, 67.

    Google Scholar 

  22. Kuhlmann, N.: Die Normalisierung komplexer Räume. Math. Ann. 144, 110–125 (1961) Zb1. 96, 278.

    Google Scholar 

  23. Kuhlmann, N.: Über die normalen Punkte eines komplexen Raumes. Math. Ann. 146, 397–412 (1962) Zb1. 115, 68.

    Google Scholar 

  24. Langmann, K.: Ein funktionalanalytischer Beweis des Hilbertschen Nullstellensatzes. Math. Ann. 192, 47–50 (1971) Zb1. 203, 445.

    Google Scholar 

  25. Langmann, K.: Zum Satz von Frisch. Math. Ann. 229, 141–142 (1977) Zb1. 339. 32008.

    Google Scholar 

  26. Langmann, K.: Zur Kohärenz der Idealgarbe. Arch. Math. 31, 565–567 (1978) Zb1. 407. 32012.

    Google Scholar 

  27. Lasker, E.: Zur Theorie der Moduln und Ideale. Math. Ann. 60, 20–116 (1905) Jbuch 36, 292.

    Google Scholar 

  28. Markow, A.: A characterization of normal analytic spaces by the homological codimension of the structure sheaf. Pac. J. Math. 52, 485–489 (1974) Zb1. 268. 32006.

    Google Scholar 

  29. Mumford, D.: The topology of normal singularities of an algebraic surface and a criterion for simplicity. Publ. Math. Inst. Hautes Etud. Sci., N° 9, 5–22 (1961) Zb1. 108, 168.

    Google Scholar 

  30. Oka, K.: Sur les fonctions analytiques de plusieurs variables VII: Sur quelques notions arithmetiques. Bull. Soc. Math. Fr. 78,1–27 (1950) Zb1.36,52; Coll. Pap. 80–108. 96 R. Remmert

    Google Scholar 

  31. Oka, K.: Sur les fonctions analytiques de plusieurs variables VIII: Lemme fondamental. J. Math. Soc. Japan 3,204–214. Zb1.43,304, 259–278, Zb1.45,41 (1951); Coll. Pap. 109–132.

    Google Scholar 

  32. Remmert, R. and Stein, K.: Über die wesentlichen Singularitäten analytischer Mengen. Math. Ann. 126, 263–306 (1953) Zb1. 51, 63.

    Google Scholar 

  33. Rückert, W.: Zum Eliminationsproblem der Potenzreihenideale. Math. Ann. 107, 259–281 (1933) Zb1. 5, 98.

    Google Scholar 

  34. Scheja, G.: Eine Anwendung Riemannscher Hebbarkeitssätze für analytische Cohomologieklassen. Arch. Math. 12, 341–348 (1961) Zb1. 116, 290.

    Google Scholar 

  35. Scheja, G.: Fortsetzungssätze der komplex-analytischen Cohomologie und ihre algebraische Charakterisierung. Math. Ann. 157, 75–94 (1964) Zb1. 136, 207.

    Google Scholar 

  36. Schumacher, G.: Ein topologisches Reduziertheitskriterium für holomorphe Abbil- dungen. Math. Ann. 220, 97–103 (1976) Zb1. 305. 32013.

    Google Scholar 

  37. Serre, J-P.: Géometrie algébrique et géometrie analytique. Ann. Inst. Fourier 6, 1–42 (1956) Zb1.75,304; tEuvres I, 402–443.

    Google Scholar 

  38. Serre, J-P.: Prolongement de faisceaux analytiques cohérents. Ann. Inst. Fourier 16, 363–374 (1966) Zb1.144,80; tEuvres II, 277–288.

    Google Scholar 

  39. Siegel, C.L.: Zu den Beweisen des Vorbereitungssatzes von Weierstraß. Abh. Zahlentheor. Anal., 297–306 (1968) Zb1.189,365 Ges. Abh. IV, 1–8.

    Google Scholar 

  40. Späth, H.: Der Weierstraßsche Vorbereitungssatz. J. Reine Angew, Math. 161, 95–100 (1929) Jbuch 55, 206.

    Google Scholar 

  41. Stickelberger, L.: Über einen Satz des Herrn Noether. Math. Ann. 30, 401–409 (1887) Jbuch 19, 399.

    Google Scholar 

  42. Storch, U.: Über die Divisorenklassengruppen normaler komplex-analytischer Algebren. Math. Ann. 183, 93–104 (1969) Zb1. 174. 334.

    Google Scholar 

  43. Storch, U.: Die Picard-Zahlen der Singularitäten t + tZj + t33 + t4 = 0. J. Reine Angew. Math. 350, 188–202 (1984) Zb1. 527. 14009.

    Google Scholar 

  44. Thimm, W.: Untersuchungen über das Spurproblem von holomorphen Funktionen auf analytischen Mengen. Math. Ann. 139, 95–114 (1959) Zb1. 196, 344.

    Google Scholar 

  45. Thimm, W.: Lückengarben von kohärenten analytischen Modulgarben. Math. Ann. 148, 372–394 (1962) Zb1. 111, 82.

    Google Scholar 

  46. Weierstrass, K.: Einige auf die Theorie der analytischen Funktionen mehrerer Veränderlichen sich beziehende Sätze. Math. Werke II, (1895) 135–142, Jbuch 26, 41.

    Google Scholar 

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  1. R. Remmert
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Editors and Affiliations

  1. Mathematisches Institut, Universität Göttingen, Bunsenstr. 3-5, 37073, Göttingen, Germany

    H. Grauert

  2. Mathematisches Institut, Universität Bayreuth, Universitätsstr. 30, 95440, Bayreuth, Germany

    Th. Peternell

  3. Mathematisches Institut, Universität Münster, Einsteinstr. 62, 48149, Münster, Germany

    R. Remmert

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© 1994 Springer-Verlag Berlin Heidelberg

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Remmert, R. (1994). Local Theory of Complex Spaces. In: Grauert, H., Peternell, T., Remmert, R. (eds) Several Complex Variables VII. Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol 74. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/978-3-662-09873-8_2

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