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References
Über die Enden topologischer Räume und Gruppen Math. Zeitschr. 33 (1931), 692–713.
Neuaufbau der Endentheorie. 1941. Vermutlich in den Annals of Mathematich erschienen.
d. h. jeder Punkt besitzt eine Umgebung mit kompakter Berandung.—Dieser Begriff in der Endentheorie rührt vonL. Zippin her: On semicompact spaces. Amer. J. of Math. 57 (1935), 327–341.
d. h. jede abnehmende Folge nichtleerer offener abgeschlossener Teilmengen vonR soll einen nichtleeren Durchschnitt besitzen.
Topologische Studiën. Compactificatie, voortzetting van afbeeldingen en samenhang. 1942.
Enden offener Räume und unendliche diskontinuierliche Gruppen. Comment. Math. Helvet. 16 (1943), 81–100.
Ein derartiger topologischer Grundbegriff steht wohl in der Literatur zuerst beiB. Linfield, Espaces discrets paramétriques et non-paramétriques. Thèse Strasbourg 1925. Siehe auch:H. Fréchet, Fund. Math. 8 (1926), 151–159, wo die Begriffe Linfields auf ältere topologische Begriffe zurückgeführt werden.—Von den tiefergehenden Untersuchungen Alexandroffs u. a. über diskrete Räume werden wir hier nichts brauchen.
Einen Endpunkt hat die Ebene (mit der Decktransformationsgruppe des Torus); zwei Endpunkte hat die Gerade (mit der Decktransformationsgruppe des Kreises). Für den Fall unendlich vieler Endpunkte geben wir an Stelle des Hopfschen Beispiels eins aus der Theorie der automorphen Funktionen ohne Grenzkreis: In der funktionen-theoretischen Ebene seien drei KreiseK 1,K 2,K 3 gegeben, von denen je zwei in demselben von den zwei Gebieten liegen, die der dritte bestimmt. Die drei Kreise beranden zusammen ein dreifach zusammenhängendes GebietA 1. Man spiegeleA 1 an seinen drei Rändern und vereinige die drei Spiegelbilder—so entstehtA 2. Die VereinigungA 1∪A 2 spiegele man an ihren sechs Randkreisen, vereinige die Spiegelbilder und nenne das ResultatA 3. So fahre man fort. Die VereinigungA allerA n erfüllt die ganze Ebene bis auf eine nulldimensionale perfekte Menge (die Menge der Endpunkte vonA). InA herrscht die Gruppe gebrochen linearer Abbildungen, die von den Spiegelungen anK 1,K 2,K 3 erzeugt wird;A 1 ist einer ihrer Fundamentalbereiche. Zu der Gruppe gehören automorphe Funktionen, deren Singularitätenmenge mit der Endpunktmenge vonA zusammenfällt.—Man kann dieses Schottkysche Beispiel auch durch einen regulären Baum vom Grade 3 ersetzen (bei Hopf ist das einfachste Beispiel ein regulärer Baum vom Grade 4), d. h. durch ein Ecke 0 und sind die benachbarten Ecken 1, 2, 3, so nenne manS 1,S 2,S 3 gewisse Spiegelungen (Automorphismen des Baumes von der Periode 2) die bzw. 0 mit 1, 2, 3 vertauschen. DieS i erzeugen die gewünschte Gruppe.
Man nennt das vielleicht besser: gleichmäßig äquivalent.
Man könnte natürlich ebensogut festsetzen:a, b benachbart, wennab −1∈U. Statt der „Rechtsnachbarschaft” als Grundbegriff erhielte man dann eine „Linksnachbarschaft” als Grundbegriff. Beide dürfen nicht durcheinander geworfen werden, obschon sie natürlich isomorphe Theorien liefern.
In Gruppen bedeutetMN die Menge allermn mitm∈M, n∈N. M p bedeutet hier die MengeM·M.....M (p-mal).
Satz vonHopf, l. c., S. 82.
Auch dieser Satz ist vonHopf, l. c., S. 97.
Satz vonHopf, l. c., S. 82.
Auch dieser Satz ist vonHopf, l. c., S. 97.
k ist hier natürlich nicht Exponent.
Beide Definitionen beiHopf, l. c., S. 88, 90.
Bei Hopf sind die Endpunkte von Ř primär. Die Tatsache, daß zwei Räume Ř mit demselbenG dieselbe Anzahl Endpunkte haben, wies auf die Möglichkeit einer Endpukttheorie vonG hin (Hopf, l. c., S. 96).
Das Nötige über Normalteiler und Faktorgruppen findet man bei Verf., Einige Sätze über topologische Gruppen, Annals of Math.37 (1936), 46–56, oder beiD. van Dantzig, Zur topologischen Algebra, I, Math. Annalen 107 (1932), 587–626.
Siehe Neuaufbau der Endentheorie. 1941. Vermutlich in den Annals of Mathematics erschienen. Satz 8. Man kann sich aber auch mit 1), Satz 9, begnügen.
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Freudenthal, H. Über die Enden diskreter Räume und Gruppen. Commentarii Mathematici Helvetici 17, 1–38 (1944). https://doi.org/10.1007/BF02566233
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02566233