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Zur Struktur von Alternativkörpern

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Literatur

  1. M. Zorn: Theorie der alternativen Ringe [Hamb. Abhandl.8 (1930)], zitiert mit Z. M. Zorn: Alternativkörper und quadratische Systeme [Hamb. Abhandl.9 (1933)]. Vergl. auch R. Moufang: Alternativkörper und der Satz vom vollständigen Vierseit (D 9) [Hamb. Abhandl.9 (1933)]. Zitiert mit M1.

  2. Siehe Z.,, S. 127 ff. Zorn bezeichnet als „Satz von Artin” die etwas schwächere Aussage, daß in einem alternativen Ring irgend zwei Elemente einen assoziativen Ring erzeugen. Aber da es leicht ist, vom Ring auf den Schiefkörper zu schließen, und da sich bei Zorn selbst alles vorfindet, um den assoziativen Ring innerhalb des Alternativkörpers in einen Schiefkörper einzubetten, bezeichnen wir der Einfachheit halber als Satz von Artin den im Text gegebenen Satz.

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  3. Siehe Z., S. 127 ff.

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  4. Der Übergang von der freien Gruppe zum Schiefkörper ist fürR * (a, b) durchgeführt in R. Moufang: Die Desarguesschen Sätze vom Rang 10 (Math. Annalen108 (1933) S. 306 ff.) Zitiert mit M2.

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  5. Siehe Z.,, S. 125.

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  6. Daß in I′ (8) gilt, ist bewiesen in Z.,. S. 142. Daß in I (8') gilt, ist bewiesen in M1, S. 216 ff.

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  7. Siehe Z.,, S. 125 ff.

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  8. Siehe Z.,,S. 142.

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  9. Siehe M2, S. 298 ff.

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  10. Siehe Anm. 4)..

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  11. Hier benutzen wir zum ersten Mal die Identität (5) von S. 420.

  12. Siehe Anm. 4).. Wir bemerken hier, daß der in § 3 über die QuasigruppeQ ** bewiesene Satz folgende Verallgemeinerung gestattet: Sei ϱ ein Element, daß mit allen Elementen einer QuasigruppeQ ** inverticrbar und assoziierbar ist.a, b, c vonQ **, die der Relationa(b c)(a b) c genügen, ein Teilsystem erzeugen mit der Eigenschaft, daß zwei Potenzprodukte ina, b, c,die aus gleich vielen bzw. gleichen Faktoren komponiert sind. aber nach Maßgabe des nicht assoziativen Aufbaus eines Produktes innerhalbQ ** verschieden beklammert sind, sich nur um eine Potenz von ϱ unterscheiden. Für ϱ=1 gibt dies den in §3 bewiesenen Satz. Für ϱ=−1 gewinnt man die Formel (3) von S. 220 in M1, falls noch vorausgesetzt wird, daß die Relationenac=−b a, ac=−ca, bc=−cb bestehen. In einem Alternativkörper sind ±1 die einzig möglichen Werte für ϱ.

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  13. Siehe M2, S. 296 ff.

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  14. D. Hilbert: Grundlagen der Geometrie (7. Aufl.), S. 110.

  15. R. Moufang: Ein Satz über die Schnittpunktsätze des allgemeinen Fünfecksnetzes (Math. Annalen107 (1932), S. 124 ff.).

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  16. D. Hilbert, l. c. Grundlagen der Geometrie (7. Aufl.), S. 110., S. 93.

  17. Siehe M1,, S. 207 ff. u und Anm. 20).

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  18. Siehe M1,. S. 208.

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  19. R. Moufang: Die Schnittpunktsätze des projektiven speziellen Fünfecksnetzes in ihrer Abhängigkeit voneinander. (DasA-Netz) (Math. Annalen106 (1932), S. 768 ff.). Die PunkteX b ,X p ,X r ,X q in der dortigen Fig. 25 entsprechen den PunktenX b ,X a X B ,X b X c ,X a X b X c in der jetzt gewählten Bezeichnungsweise.

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  20. Siehe Z.,, S. 126.

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Moufang, R. Zur Struktur von Alternativkörpern. Math. Ann. 110, 416–430 (1935). https://doi.org/10.1007/BF01448037

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