New solutions of the thirring model

Summary

The device of the external source is used to evaluate the Green’s functions of the Thirring model. The essential departure from earlier approaches to this problem consists in the use of a generalization of Schwinger’s definition of the current operator for the case in which there exists a coupling to an external field. It is found that this definition does not determine uniquely the current operator and that the solution consequently contains a free parameter which does not explicitly appear in the original Lagrangian. Although the solution reduces to that obtained by Johnson for a particular value of this parameter, the present approach has the distinct advantage of avoiding timelike limits in the definition of the current as well as clearly indicating the existence of a more general class of solutions than has previously been known. The energy-momentum tensor is displayed explicitly and is shown by direct calculation to satisfy Schwinger’s commutator condition on the energy density.

Riassunto

Si usa il sistema della sorgente esterna per valutare le funzioni di Green del modello di Thirring. La differenza essenziale dai precedenti accostamenti a questo problema sta nell’uso di una generalizzazione della definizione di Schwinger dell’operatore delle correnti per il caso in cui esista un accoppiamento con un campo esterno. Si trova che questa definizione non determina unicamente l’operatore delle correnti e che in conseguenza la soluzione contiene un parametro libero che non compare esplicitamente nel lagrangiano originario. Sebbene la soluzione si riduca a quella ottenuta da Johnson per un particolare valore di questo parametro, il presente accostamento ha il vantaggio distintivo di evitare limiti temporali nella definizione della corrente ed anche di indicare chiaramente l’esistenza di una classe di soluzioni più generale di quelle precentemente note. Si indica esplicitamente il tensore energia-impulso e si dimostra con un calcolo diretto che esso soddisfa la condizione del commutatore di Schwinger per la densità di energia.

Реэюме

Испольэуется метод внещнего источника для вычисления грино-вских функций модели Тирринга. Сушественное отклонение от предществуюших приближений к зтой проблеме состоит в испольэовании обобшения щвингеровского определения оператора тока для случая, в котором сушествует свяэь с внещним полем. Найдено, что зто определение не является достаточным, чтобы одноэначно определить оператор тока, и что рещение позтому содержит свободный параметр, который не появляется определенно в исходном Лагранжиане. Хотя рещение сводится к рещению, полученному Джонсоном для частного эначения параметра, настояшее приближение имеет определенное преимушество, обходя времени-подо-ные пределы в определении тока, а также ясно укаэывая сушествование более обшего класса рещений, чем предварительно были иэвестны. Аккуратно демонстрируется тенэор знергии-импульса, и прямым вычислением покаэывается, что он удовлетворяет условию щвингеровского коммутатора на плотность знергии.