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Conclusion

Dans l'introduction, j'ai montré comment les différentes questions traitées dans ce travail peuvent être considérées à un même point de vue. On voit à prèsent que les méthodes qui ont été employées pour les résoudre présentent aussi entre elles les plus grandes analogies. La théorie des ensembles de points joue un rôle très important dans ces méthodes; on peut même dire, d'une manière générale, que, dans l'ordre d'idées où nous nous sommes placés, tout problème relatif à la théorie des fonctions conduit à certaines questions relatives à la théorie des ensembles; et c'est dans la mesure où ces dernières questions sont avancées ou peuvent l'être qu'il est possible de résoudre plus ou moins complètement le problème donné.

Les questions dont l'étude fait l'objet de ce mémoire en appellent une foule d'autres. En ce qui concerne les fonctions d'une variable, il y aurait lieu de poursuivre l'étude des différentes classes de fonctions définies au chapitre III; il faudrait ensuite faire une étude analogue pour les fonctions de plusieurs variables, étudier en particulier, d'une manière plus approfondie qu'on ne l'a fait au chapitre IV, les fonctions den variables, continues par rapport à chacune d'elles; il y aurait lieu aussi de chercher à résoudre, aussi complètement que possible, la question posée au chapitre V au sujet des équations aux dérivées partielles.

On voit qu'il y a là tout un groupe de problèmes, dont quelques-uns seulement, choisis parmi les plus simples, ont été étudiés dans ce travail.

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References

  1. On dit qu'un ensemble estdense par rapport à un domaine si son ensemble dérivé contient tous les points de ce domaine. Voir, par exemple:Borel,Leçons sur la thėorie des fonctions, page 38.

  2. U. Dini,Fondamenti, etc. page 103.

  3. Cf. § 13.

  4. Cf.Dini,Fondamenti, etc.

  5. Acta Mathematica, Tome II.

  6. VoirActa, Tome II.

  7. VoirCantor,Acta Mathematica, Tome II, page 360.

  8. Les démonstrations de ces théoremes se trouvent dans le Mémoire deM. Bendixson (Acta, T. II). J'aurai d'ailleurs occasion plus loin (§ 47), d'établir sur les ensembles des théorèmes qui comprendront ceux-ci comme cas particuliers.

  9. Acta, Tome II, page 388.

  10. Une démonstration tres simple du théoréme deWeierstrass a été donnée parM. Lebesgue dans une Note:Sur l'approximation des fonctions. (Bulletin des sciences mathématiques, novembre 1898.)

  11. Volterra,Alcune osservazioni sulle funzioni punteggiate disconlinue. (Giornale di Battaglini, 1881.)

  12. Voir à ce sujet:Borel:Leçons sur la théorie des fonctions, Notes I et III.

  13. Cf.Dini,Fondamenti, etc., page 190.

  14. L. Scheeffer,Acta Mathematica, Tome V, page 289.

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Baire, R. Sur les fonctions de variables réelles. Annali di Matematica, Serie III 3, 1–123 (1899). https://doi.org/10.1007/BF02419243

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