Literatur
Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre (1914), S. 315 ff. — Mengenlehre (1927), S. 103 ff.
Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre, 7. Kap., § 1; 8. Kap., § 1–3.
Daß diese Definition der Fläche mit derjenigen, die die Fläche aus Dreiecken aufbaut, identisch ist, ist zuerst vonRadó bewiesen worden: Ueber den Begriff der Riemannschen Fläche, Acta ..., Szeged, II, (1925).
Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre, S. 230.
Jede topologische Fläche läßt sich, — was für diese Arbeit übrigens logisch unwesentlich ist, — zu einer differentialgeometrischen machen, denn sie läßt sich bekanntlich sogar zu einer euklidischen oder nicht-euklidischen “Raumform” machen, d. h. mit einer Differentiaggeometrie konstanten Krümmungsmaßes versehen; s. z. B.Koebe, Riemannsche Mannilfaltigkeiten und nichteuklidische Raumformen, Sitzungsber. Preuß. Akad. d. Wiss., Phys.-math. Klasse, Berlin 1927, S. 164 ff.
Für den Spezialfall konstanter Krümmung vergl. man:Koebe, wie oben, 2. Mitteilung, Berlin 1928, S. 345 ff., besonders S. 349–350;H. Hopf, Zum Clifford-Kleinschen Raumproblem, Math. Annalen 95 (1925), S. 313 ff., besonders S. 315; sowie die historischen Bemerkungen von Koebe, a. a. O. S. 346–347.
Für den Spezialfall konstanter Krümmung s. Koebe, wie unter—, S. 184–185.
Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre, S. 290 ff.; Mengenlehre, S. 94.
Hilbert, Ueber das Dirichletsche Prinzip, Jahresber. d. Deutschen Math. Verein. VIII (1899), und Crelles Journal 130 (1905). —Carathéodory, Ueber die starken Maxima und Minima bei einfachen Integralen, Math. Annalen 62 (1906), §§ 10, 11.
Bolza, Vorlesungen über Variationsrechnung (1909), § 33.
Beweise dieser im wesentlichen vonKlein undKilling stammenden Sätze, findet man in der unter—, genannten Arbeit von Koebe und in der unter 7) genannten Arbeit von Hopf.
Man vergl.Blaschke, Vorlesungen über Differentialgeometrie I (1921), § 84: Satz von Bonnet über den Durchmesser einer Eifläche. Unser Beweis ist mit dem dortigen fast identisch; jedoch setzt letzterer gerade die von uns zu beweisende Geschlossenheit der Fläche voraus.
Man vergl. die unterBlaschke, Vorlesungen über Differentialgeometrie I (1921), § 84: zitierte Stelle, beachte aber den Unterschied in der Definition des Durchmessers: dort wird er mittels der räumlichen Entfernung, bei uns mittels des Entfernungsbegriffs auf der Fläche erklärt.
Blaschke, a. a. O., Man vergl.Blaschke, Vorlesungen über Differentialgeometrie I (1921), § 64.
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Hopf, H., Rinow, W. Ueber den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche. Commentarii Mathematici Helvetici 3, 209–225 (1931). https://doi.org/10.1007/BF01601813
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