반발계수는 두 물체의 충돌 전후의 상대 속대를 이용하여 유도될 수 있다. 충돌 전과 충돌 후의 두 물체의 속도에 관한 식은 다음과 같다^{[14, 15]}.

여기서 e는 0 < e <1 범위를 갖는 반발계수이고, n는 충돌 면과 수직인 벡터이다. 그리고 υ, υ_obj, Δυ, Δυ_obj 는 각각 로봇 매니퓰레이터와 물체의 속도, 로봇 매니퓰레이터와 물체의 속도 변화량이다. 여기서 벽과 같은 고정된 물체에 대해서는 υ_obj = Δυ_obj = 0 이다.

로봇 매니퓰레이터가 물체와 충돌할 때, 일반적인 매니퓰레이터에 대한 역학 식은 다음과 같이 유도된다^[4].

여기서 F_ext와 J는 각각 충돌 부분에서의 외부 힘과 자코비안 (jacobian)을 나타낸다. 식 (2)를 충돌 시간에 대해 적분한 식은 다음과 같이 얻을 수 있다.

식 (3)에서 좌 항인 φ.TPφφφ∗φ.과 우 항의 두 번째 항인 T은 각각 매니퓰레이터의 속도와 충돌 면에 가해지는 힘을 나타내는데, 이 값들은 유한한 값들이다. 충돌시간인 Δt는 φ.TPφφφ∗φ.과 T에 비해 상대적으로 거의 0 이기 때문에 서로 상쇄되므로 식 (3)을 다시 정리하여 매니퓰레이터가 충돌순간 자세에서의 각속도 변화량에 관한 벡터 식을 다음과 같이 표현할 수 있다.

여기서 ,(F~ext=∫tt+ΔtFextdt)는 충돌 부분에서의 충격량을 나타내고, 식 (4)를 이용하여 충돌부분에서의 선속도의 변화량은 다음과 같이 표현할 수 있다.

식 (5)를 식 (1)에 대입하고, 스칼라인 외부 충격량과 반발계수에 대해 정리를 함으로써 외부 충격량의 크기는 다음과 같이 구할 수 있다.

여기서 식 (6)을 반발계수에 대해 정리하여 다음과 같이 얻어진다

식 (7)을 살펴보면, 반발계수는 매니퓰레이터의 자세, 충돌속도, 매니퓰레이터를 구성하고 있는 링크들의 물성치에 대한 함수임을 알 수 있다.

한편, 로봇 매니퓰레이터의 단일 충돌 점에서 외부 충격을 받을 때, 로봇 매니퓰레이터의 관절들은 그에 따라 내부의 충격을 받고, 각각의 관절들에 대한 충격의 크기와 방향은 Newton-Euler’s 식을 시간에 대해 적분함으로써 다음과 같이 유도할 수 있다^[16]:

위 식을 시간에 대해서 적분함으로써 속도의 증분과 충격량에 대한 관계식을 설정할 수 있고, 이를 행렬식으로 정리하면 단일 충돌 점에 대해서 외부 충격량과 내부 충격량 사이의 관계식을 다음과 같이 유도된다^[16].

여기서 (F¯~int)는 관절들에 가해지는 내부 충격량이고, ([Kextint]=[sA]−1[sD]−[sB])는 외부 충격량이 가해졌을 때 각 관절들이 받는 내부 충격량을 표현해주는 행렬이다^[16].

카트나 공에 대한 충돌 문제는 벽과의 충돌문제와 동일한 문제이나, 카트나 공은 충돌 후에 움직인다는 점에서 결정적 차이가 존재한다(υ_obj = 0,Δυ_obj≠0). 움직일 수 있는 물체의 충돌 현상을 관찰하기 위해, 직선으로 움직이는 카트와 회전이 없고 구르고 미끄러지는 공과 같은 1자유도 선형 시스템 모델이 도입되었다. 카트와 공 사이의 충돌 모델에 관한 개념은 그림 1과 2에 나타나 있다.

[Fig. 1] 

Conceptual figure for the cart impact

[Fig. 2] 

Conceptual figure for the ball impact

그림 1과 2 에서 “P” 점은 로봇 매니퓰레이터와 카트나 공 과의 충돌지점이다. 또한 충돌 면적에 따른 충돌 현상을 관찰하기 위해서 각기 다른 반지름과 곡률을 가지는 몇 가지 종류의 로봇 매니퓰레이터의 끝점이 이용된다.

충돌 후의 카트의 속도는 운동량에 대한 공식에 따라 다음과 같이 구할 수 있다.

여기서 υ′¯obj,mobj , m_obj는 물체가 뉴턴 제 3법칙에 의해서 반대 방향으로 F˜ext 충격량을 받았을 때, 충돌 후의 카트나 공과 같은 물체의 속도와 질량을 각각 나타낸다. 식 (5)와 (11)을 식 (1)에 대입하고, 외부 충격량에 대해서 정리하여 쓰면 다음과 같은 식이 유도된다.

위 식에서, 충돌전의 카트의 속도는 0이므로 식 (12)를 식 (11)에 대입함으로써 충돌 후 물체의 속도가 구해진다. 식 (11)과 (12)로부터 충돌 직후의 물체의 속도는 로봇 매니퓰레이터의 물성, 자세, 충돌 부분에 가하는 속도, 반발계수, 물체의 질량에 따라 변하는 외부 충격량에 의해 결정된다는 것을 알 수 있다. 그리고, 식 (11)과 (12)를 이용하여 충돌후의 움직이는 물체의 초기 속도를 추정할 수 있고 이는 다양한 기계 시스템에 적용될 수 있다.

이제 충돌면적에 따른 반발계수의 변화특성을 분석적으로 살펴본다. 그림 3은 서로 다른 두 표면에 대해서 충돌시간 동안에 물체가 눌렸을 때의 기하학적 변형을 나타낸 것인데, 접촉면적이 상대적으로 큰 그림 3 (b) 의 경우보다 그림 3(a)의 경우와 같이 접촉 면적이 작은 상태에서 피충돌체와 충돌 했을 때 피충돌체를 더 많이 관통하는 것을 알 수 있다.

[Fig. 3] 

The deflection geometry of the wall due to the impact. (a) impact with a smaller contact area, (b) impact with a larger contact area

피충돌체를 관통한 거리 (Δx) 는 다음 식과 같이 충돌시간 (Δt)과 충돌속도 (v) 에 관해서 표현할 수 있다.

충돌속도는 두 경우에 대해서 일정하므로 피충돌체를 관통한 거리 (Δx)는 관통시간 (Δt)과 비례하게 되고, 그림 3 에서는 적은 충돌면적이 관통시간이 상대적으로 더 길다.

한편, 댐퍼에 대한 에너지 손실은 다음 식과 같이 주어진다.

여기서 υ와υ'는 각각 피충돌체가 압축될 때와 복원될때의 충돌체의 속도이고, b는 댐퍼 계수이다. 일반적으로 에너지 손실로 인해서 피충돌체가 압축될 때의 상태에서의 충돌체의 속도 υ보다 복원될 때의 상태에서의 충돌체의 속도 υ' 가 더 작다. 하지만 충돌체 매니퓰레이터의 관성(inertia)이 피충돌체 카트보다 훨씬 크기 때문에 충돌에 의해 충돌체에 가해진 충격량은 충돌체 매니퓰레이터에 큰영향을 미치지 못하므로 υ 와 υ'의 차이는 거의 없다. 따라서 식 (14) 에서의 에너지 손실량을 다음과 같이 대략화 시킬 수 있다.

그리고, 충돌 후의 카트의 운동에너지는 충돌체의 손실된 에너지를 통해서 얻어지므로 식 (12)를 이용하여 다음과 같이 얻을 수 있다.

여기서 12mcartυcart2 와 12mcartυ'cart2 는 각각 완전

탄성충돌과 (e=1) 비탄성 충돌(0<e<1) 에 대한 충돌 전 후의 카트의 운동에너지를 나타낸다.

식 (16)에 식 (15)를 대입하고 댐핑 계수에 관하여 정리하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

식 (17)을 통해서 알 수 있듯이, 충돌 면적이 점점 작아지게 되면, 충돌체의 압축시간 (Δt)이 상대적으로 증가하여 반발계수가 증가하게 되고, 충돌면적이 작아지면 충돌 면적이 커질 때보다 댐퍼 계수 b가 줄어듦을 알 수 있다. 식 (14)에서 알 수 있듯이, 댐퍼 계수가 줄어들게 되면 에너지 손실도 줄어들게 되므로 결과적으로 충돌 면적이 적을수록 카트의 충돌 후 초기 속도가 더 커지는 것을 확인 할 수 있다. 이러한 해석들은 3장에서 제시된 실험결과들에 의해서 다시 한 번 타당성이 입증된다.

처음으로 반발계수가 충돌속도와 관련이 있음을 증명하기 위한 실험이 수행되었고, 그 다음에는 이 논문에서의 새로운 기여인 반발계수와 충돌 면적간의 관계를 증명할 것이다. 실험환경 설정으로서 3자유도 매니퓰레이터, 접촉면의 재질(고무, 실리콘), F/T센서, DC모터가 사용되었고, 이를 이용하여 고정된 벽과의 충돌문제를 다뤘던 지난 연구보다 좀 더 정밀하고 체계적인 매니퓰레이터와 벽 간의 충돌 실험이 수행되었다. 이 작업에서, 카트나 공과 같은 움직이는 물체에 대한 충돌 문제에 대해서도 다뤄졌다^[13].

그림 4는 매니퓰레이터-카트 충돌 실험의 환경을 나타낸다. 여기서 카트 (0.92kg)는 한 방향으로만 움직이고, 엔코더는 카트의 속도를 측정하기 위해서 바퀴 축에 설치되었고, 0.088 degree의 분해능을 가졌다. 매니퓰레이터-카트 충돌실험에서의 접촉면은 서로 다른 두 가지 재질이 카트에 장착된다.

[Fig. 4] 

Experimental setup for the cart mechanism (a) whole view, (b) cart

충돌 속도가 증가함에 따라 반발계수가 감소하는 현상을 이해하기 위해서 매니퓰레이터-벽 간의 충돌 실험이 먼저 수행되었다. 실험 과정은 다음과 같다.

1. 매니퓰레이터의 초기 위치를 설정하고, 충돌순간의 속도를 측정한다. (0.9 에서 1.8m/s 까지 10단계)
2. F/T 센서를 이용하여 충돌시간에 따른 힘 경향을 측정한 것을 적분하여 충격량을 계산한다.
3. 식 (7)을 이용하여 반발계수를 계산하고, 그림 5 와 같이 두 종류의 충돌 재질과 세 종류의 충돌 끝점을 계속 바꿔가며(6가지 경우) 반복하여 실험을 수행한다.
4. 1)단계 에서 3)단계까지 충분한 정보가 모일 때까지 반복한다.

[Fig. 5] 

Three types of end tips of the manipulator (a) type 1 (R10mm), (b) type 2 (R20mm), (c) type 3 (R50mm)

그림 6은 다양한 충돌속도와 재질에 따른 반발계수의 실험적 데이터 결과를 나타낸다. 두 종류의 충돌재질과 세 종류의 끝점이 위 실험에서 사용되었고 두 종류의 충돌 재질 모두에 대해서 충돌속도가 증가할수록 반발계수가 줄어듦을 알 수 있다. 그림 6을 이루는 각각의 박스들은 각각의 경우에 대한 반복실험 (20번 이상)을 통해서 얻어진 데이터들의 boxplot을 나타낸 것이다. 또한, 위 결과에서 더 넓은 접촉면적 (그림 5 의 (c) )은 반발계수를 감소시키는 결과를 확인할 수 있었고, 이것은 넓은 접촉면적은 적은 접촉 면적에 비해 에너지 손실이 많이 발생한다는 것을 나타낸다. 이것은 다른 연구내용에 언급된 적이 없는 이번 연구에서의 새로운 관측내용이며, 앞서 2장에서 설명한 물리적 해석내용에 부합하는 결과이다.

[Fig. 6] 

Variable characteristic of COR (a) wall is silicon, (b) wall is rubber

이 부분에서는 매니퓰레이터와 벽간의 충돌 실험을 통해서 변수특성을 갖는 반발계수의 효율성에 대해서 알아본다. 우선, 실험적으로 얻은 반발계수의 가변특성을 나타내는 데이터들을 더 넓은 범위의 충돌속도에 대해서도 이용하기 위해서 각각의 반발계수 데이터들은 그림 7과 같이 4차 다항식으로 보간되었다. 그리고 나서 식 (12)와 보간된 반발계수 모델들을 이용하여 변수특성을 갖는 반발계수를 우리가 흔히 알고 있던 상수 반발계수와의 외부 충격량을 비교하는 시뮬레이션이 수행되었다.

[Fig. 7] 

Interpolated curve of each COR (a) wall is silicon, (b) wall is rubber

충돌속도가 증가함에 따라 반발계수가 감소하는 경향을 반영해야 하기 때문에 그림 8의 실험적 데이터를 기반으로, 상수 반발계수는 실제 반발계수보다 항상 크게 간주되었다. 따라서 상수 반발계수와 변수 반발계수 간의 격차는 충돌속도가 증가함에 따라 증가하게 된다. 실험에서는 각각의 상수 반발계수를 변수 반발계수의 초기값으로 설정하였고, 그림 8에서 보인 실험 결과로부터 상수 반발계수 값을 추출할 수 있다. 구체적으로, 속도가 0.9m/s인 매니퓰레이터가 팁 종류1, 2, 3 이 실리콘재질에 충돌할 때와 팁 종류1, 2, 3 이 고무재질에 충돌할 때의 보간된 반발계수 모델을 이용하여 각각 0.5690, 0.5562, 0.5429와 0.6738, 0.6638, 0.6494 의 반발계수들을 얻을 수 있고, 이것들은 앞으로 언급될 시뮬레이션과 실험내용에 쓰일 것이다.

[Fig. 8] 

External impulses of COR models for fixed tip type (wall impact problem)

그림 7에서 추출한 변수 반발계수의 값들은 카트와 구르는 공과 같이 움직이는 충돌체에 대한 임팩트에서의 반발계수 모델에도 효과적으로 적용될 수 있다. 또한 외부 충격량은 시뮬레이션에 의해 얻어진 값과 비교하기 위해 F/T센서에 의해서 실험적으로 측정되었다. 그림 8 은 매니퓰레이터의 팁 종류를 고정시키고 네 종류의 충돌속도와 두 종류의 재질을 사용할 때 상수 및 변수 반발계수 모델들을 적용한 외부 충격량을 나타낸 것이다.

3자유도 매니퓰레이터가 팁 종류1으로 벽에 충돌했을 때의 두 종류의 재질과 네 가지의 속도가 고려되었다. 주어진 매니퓰레이터의 충돌속도에 대해서 반발계수는 그림 8을 이용하여 추출할 수 있고, 식 (6)을 이용하여 계산된 외부 충격량은 실험적으로 측정된 외부 충격량과 비교되었다. 그림 8에서의 비교는 실제 실험으로 측정된 외부 충격량은 변수 반발계수를 적용하여 계산된 외부 충격량과 거의 같고 상수 반발계수를 적용하여 계산된 외부 충격량과는 약간의 차이가 있음을 보여준다. 이에 대한 구체적인 오차 값은 표 1에 제시되었다. 결과적으로, 어떠한 재질이라도 매니퓰레이터가 특정 속도로 충돌할 때 상수 반발계수 모델을 적용하게 되면 변수 반발계수 모델을 적용할 때 보다 외부 충격량이 더 많이 나오는 경향을 볼 수 있는데 이는 상수 반발계수가 변수 반발계수보다 더 크기 때문이다.

그림 9는 충돌 속도를 1.91m/s로 고정시키고, 두 종류의 재질과 세 종류의 팁에 따른 외부 충격량을 나타낸 것인데, 변수 및 상수 반발계수를 적용시켰을 때의 외부 충격량과 실제 실험으로 얻은 외부 충격량이 비교되었고, 실험값을 기준으로 한 구체적인 오차 값은 표 2에 표현되었다. 표 2는 충돌 면적이 변수 반발계수와 연관이 있음을 보여줌과 동시에, 매니퓰레이터가 같은 충돌속도에 대해서 다른 재질과 팁 모양으로 충돌할 때 상수 반발계수 모델을 적용하게 되면 변수 반발계수 모델을 적용할 때 보다 외부 충격량이 더 많이 나오는 경향을 보여준다.

[Fig. 9] 

External impulses according to the tip type (wall impact problem)