Gitter und Codes über Kettenringen

Eisenbarth, Simon; Kirschmer, Markus; Nebe, Gabriele

doi:HT020438249

Gitter und Codes über Kettenringen = Lattices and codes over chain rings

Eisenbarth, Simon^RWTH*

2019 & 2020

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Simon Eisenbarth, M.Sc.

ImpressumAachen 2019

Umfang1 Online-Ressource (127 Seiten) : Illustrationen

Dissertation, RWTH Aachen University, 2019

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University 2020

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Nebe, Gabriele (Thesis advisor)^RWTH* ; Kirschmer, Markus (Thesis advisor)^RWTH*

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2019-12-19

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2020-04503
URL: https://publications.rwth-aachen.de/record/788230/files/788230.pdf

Einrichtungen

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Motiviert durch die Frage, wie sich $\mathbb{F}_p$-lineare, extremale, selbst-duale Codes mit einem Automorphismus der Ordnung $p$ klassifizieren lassen, wird in der vorliegenden Dissertation die Struktur von selbst-dualen Codes über Kettenringen untersucht. Sei $R$ ein solcher Ring, $x$ ein Erzeuger des maximalen Ideals von $R$ und sei $a \in \mathbb{N}_0$ maximal, so dass $x^a \neq 0$ ist. Ein Code $C$ über $R$ der Läange $t$ ist ein $R$-Teilmodul des freien Moduls $R^t$. Die Multiplikation mit $x$ definiert die Kette $C \supseteq C^{(1)} := Cx \supseteq C^{(2)} := Cx^2 \supseteq \cdots \supseteq C^{(a)} := Cx^a \supseteq \lbrace 0 \rbrace$ von Teilcodes von $C$. Es wird gezeigt, dass wenn $C$ selbst-dual ist, ist der Sockel $C^{(a)}$ ein selbst-dualer (hermitescher) Code über dem Restklassenkörper $\mathbb{F} = R / \langle x \rangle$ genau dann wenn $C$ ein freier $R$-Modul ist. In diesem Fall sind die $C^{(i)}$ selbst-dual in geeigneten bilinearen Räumen über $\mathbb{F}$ und es wird eine Methode beschrieben, um ausgehend von einem gegebenem Code $C^{(a)}$, alle Lifts $C$ zu konstruieren, die selbst-dual und freie $R$-Moduln sind. Damit wird bewiesen, dass der Pless-Code $P_{36}$ der einzige ternäre, selbst-duale, extremale Code der Länge $36$ mit einem Automorphismus der Ordnung $3$ ist, diese Aussage war bisher nur für Prim-Ordnungen $\geq 5$ bekannt. Zusätzlich werden Gruppencodes über Kettenringen untersucht, die relativ-projektiv im Sinne der homologischen Algebra sind. Diese Codes stehen in Bijektion zu Ketten von projektiven Gruppencodes über dem Restklassenkörper und mit diesen Ketten lassen sich direkt Eigenschaften wie der Minimalabstand oder der duale Code angegeben. Schließlich werden extremale, $p$-modulare Gitter mit Automorphismen der Ordnung $p$ betrachtet. Die Operation eines solchen Automorphismus liefert eine Zerlegung des zugrunde liegenden quadratischen Raumes in eine Fixpunkt- und zyklotomische Komponente, durch die Projektion bzw. den Schnitt des Gitters mit den beiden Komponenten lassen sich antiisometrische, quadratische, $\mathbb{F}_p$-wertige Räume definieren. Im Gegensatz zum unimodularen Fall sind diese aber nicht anisotrop, sondern enthalten (isomorphe) maximal total isotrope Teilräume. Diese definieren $p$-elementare (hermitesche) Gitter und können benutzt werden, um die Fix- und zyklotomischen Teilgitter zu bestimmen. Damit wird gezeigt, dass das einzige bisher bekannte $24$-dimensionale, $3$-modulare, extremale Gitter das einzige solche Gitter mit einem Automorphismus der Ordnung 3 ist, diese Klassifikation wurde bisher nur für Prim-Ordnungen $\geq 5$ gezeigt. Zusätzlich werden alle $5$-modularen, extremalen Gitter der Dimension 20 mit einem Automorphismus der Ordnung 5 klassifiziert.

Motivated by the question, how $\mathbb{F}_p$-linear, extremal, self-dual codes with an automorphism of order $p$ can be classified, the structur of self-dual codes over chain rings are being studied. Let $R$ be such a ring, $x$ be a generator of the unique maximal ideal of $R$ and $a \in \mathbb{N}_0$ maximal such that $x^a \neq 0$. A code $C$ over $R$ of length $t$ is an $R$-submodule of the free modul $R^t$. Multiplying powers of $x$ to $C$ defines the finite chain of subcodes $C \supseteq C^{(1)} := Cx \supseteq C^{(2)} := Cx^2 \supseteq \cdots \supseteq C^{(a)} := Cx^a \supseteq \lbrace 0 \rbrace. $ We show that if $C$ is a self-dual code in $R^t$, then the socle $C^{(a)}$ is a (hermitian) self-dual code over the residue field $\mathbb{F} = R / \langle x \rangle$ if and only if $C$ is a free $R$-module. In this case, all codes $C^{(i)}$ are self-dual in a suitable bilinear spaces over $\mathbb{F}$ and we describe a method to construct all lifts $C$ of a given self-dual code $C^{(a)}$ over $\mathbb{F}$ that are self-dual, free codes over $R$. We apply this technique to codes over finite fields of characteristic $p$ admitting an automorphism whose order is a power of $p$. For illustration, we show that the well-known Pless code $P_{36}$ is the only extremal, ternary code of length $36$ with an automorphism of order $3$, strengthening a result of Huffman, who showed the assertion for all prime orders $\geq 5$.Additionally, group codes over chain which are relative projective (in the sense of homological algebra) are being considered. Those codes are in bijection to projective group codes over the residue field and with these chains properties like the minimum distance or the dual codes can be stated. After all, extremal, $p$-modular lattices with an automorphism of order $p$ are considered. The action of such an automorphism provides a decomposition of the underlying quadratic space into a fixpoint- and a cyclotomic component. With the projection and intersection of the lattice with both components, antiisometric, quadratic spaces can be defined. Contrary to the unimodular case those spaces are not anisotropic, but contain (isomorphic) maximal total isotropic subspaces. Those define $p$-elementary (hermitian) lattices und can be used to determine the fix- and cyclotomic sublattices. As an application, we show that the only known $24$-dimensional, $3$-modular, extremal lattice is unique with an automorphism of order $3$, such a classification was only known for all prime-orders $\geq 5$. Additionally, all $5$-modular, extremal lattices of dimension $20$ with an automorphism of order $5$ are being classified.

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