Surface measures on path spaces of riemannian manifolds

Nobis, Vera; Wittich, Olaf; Führ, Hartmut

doi:10.18154/RWTH-2019-11179

Surface measures on path spaces of riemannian manifolds = Oberflächenmaße auf Pfadräumen Riemannscher Mannigfaltigkeiten

Nobis, Vera^RWTH*

2019 & 2020

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Vera Nobis, M. Sc.

ImpressumAachen 2019

Umfang1 Online-Ressource (xvi, 173 Seiten) : Illustrationen

Dissertation, RWTH Aachen University, 2019

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University 2020

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Wittich, Olaf (Thesis advisor)^RWTH* ; Führ, Hartmut (Thesis advisor)^RWTH*

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2019-11-13

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2019-11179
URL: http://publications.rwth-aachen.de/record/773550/files/773550.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
Brownian motion (frei) ; Riemannian manifolds (frei) ; embedding (frei) ; potential (frei) ; submanifolds (frei) ; surface measure (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
In dieser Dissertation werden Oberflächenmaße auf Pfadräumen Riemannscher Mannigfaltigkeiten, die von einer Brownschen Bewegung induziert werden, diskutiert. In der Literatur finden sich dazu bereits einige Ansätze. Die Brownsche Bewegung wurde dabei auf Tubenumgebungen von Untermannigfaltigkeiten studiert. In dieser Arbeit behandeln wir den folgenden Fall: Es sei $(L,g_L)$ eine geschlossene Riemannsche Mannigfaltigkeit, die isometrisch in die vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit $(M,g)$ eingebettet ist. Wir betrachten eine Brownsche Bewegung auf $M$, die in $x\in L$ startet. Es stellt sich heraus, dass bedingte Brownsche Bewegung auf Tubenumgebungen $L(\varepsilon), \varepsilon >0,$ der Untermannigfaltigkeit, mit der absorbierten Brownschen Bewegung am Rand der Tube zusammenhängt. Für die bedingten Maße wurde von Sidorova, Smolyanov, von Weizsäcker und Wittich (2014) gezeigt, dass ihnen Markov Prozesse zugrunde liegen, die für $\varepsilon \to 0$ schwach konvergieren. Außerdem wurde bereits bewiesen, dass die Lösung der Wärmeleitungsgleichung auf Tubenumgebungen von immer kleiner werdendem Radius durch die Lösung der Wärmeleitungsgleichung auf $L$ und einer glatten Potentialfunktion $W_0$ auf $L$ beschrieben werden kann. Dabei hängt $W_0$ von den Eigenschaften von $L$, $M$ und der Einbettung $\varphi: L \to M$, also von intrinsischen und extrinsischen Größen, ab. Das Hauptziel dieser Arbeit ist die Interpretation und Berechnung des Potentials $W_0$ und die Analyse seiner Eigenschaften. Hierbei wollen wir vor allem verstehen, welche Rolle $W_0$ in dem zugrundeliegenden Prozessspielt. Das Hauptresultat ist, dass zu jeder gegebenen glatten Funktion $W$ auf einer geschlossenen Riemannschen Mannigfaltigkeit $L$ eine Einbettung von $L$ in einen umgebenden Raum konstruiert werden kann, sodass $W$ bereits das Potential dieser Einbettung ist. Ein weiteres Ergebnis dieser Arbeit findet sich in Kapitel 2, in welchem wir das Potential für verschiedene Spezialfälle von Einbettungen betrachten. Im Falle total geodätischer Einbettungen ergibt sich ein bemerkenswertes Resultat. Das Potential ist hier genau der erste relevante Störungsterm aus der Volumenformel für Tuben von Weyl und Gray. Dieses Resultat liefert, durch den Zusammenhang zum endlich dimensionalen Tubenvolumen, eine erste Interpretation für $W_0$. Wir werden außerdem eine koordinaten-freie Version der Volumenformel angeben. In Kapitel 6 untersuchen wir außerdem den Effekt sukzessiver Bedingungen. Sei dazu $L_2\subset L_1 \subset M$.Es stellt sich heraus, dass wir im Allgemeinen unterschiedliche Pfadmaße erhalten, wenn wir einmal direkt von $M$ auf $L_2$ bedingen, oder zunächst auf $L_1$ und dann auf $L_2$. Der Unterschied in den Formeln wird durch eine Kozykelbedingung beschrieben.

This thesis discusses an approach to define surface measures on the path spaces of Riemannian submanifolds given by a Brownian motion. These surface measures have been discussed from various points of view in the literature. It has been helpful to study Brownian motion on tubular neighborhoods of submanifolds. In this thesis we deal with the following case: Let $(L,g_L)$ be a closed Riemannian manifold, isometrically embedded into the complete Riemannian manifold $(M,g)$. We study a Brownian motion on $M$, starting in $x\in L$. Conditioning Brownian motion totubular neighborhoods $L(\varepsilon), \varepsilon>0,$ of $L$ is closely related to Brownian motion absorbed at the boundary $\partial L(\varepsilon)$ ofthe tube. It has been shown (Sidorova, Smolyanov, von Weizsäcker and Wittich (2014)) that the conditional measures correspond to Markov processes and that they converge weakly for $\varepsilon\to 0$. Furthermore, it has been proved that the solution of the heat equation on tubes of small, decreasing diameters can be described by the solution of the heat equation on $L$ and an additional potential $W_0 \in C^\infty(L)$. It was revealed that $W_0$ reflects properties of $L$, $M$ and the embedding $\varphi:L\to M$, i.e. intrinsic and extrinsic geometric quantities. The aim of this thesis is to investigate and interpret the potential $W_0$ and its properties. The primary focus is to understand the role $W_0$ plays in the above described limit process. Our main result is that for any given closed Riemannian manifold $L$ and $W\in C^\infty (L)$ we are able to construct an embedding of$L$ into an ambient space with $W$ as the associated potential function. Another main result of this work is given in Chapter 2, where we explain the behavior of the potential in special cases and elucidate the relevance of $W_0$ for them. The study of totally geodesic embeddings is remarkably fruitful. In this case, a detailed geometric discussion demonstrates that the potential is related to the first non-zero correction term, which occurs in a well-known volume formula by Gray and Weyl. Hence, we are able to provide an interpretation in this case, since the potential is here closely related to the finite dimensional volume of the tube. Moreover, we give a coordinate-free version of the volume formula. In Chapter 6, we investigate the behavior of $W_0$ for the triple $L_2\subset L_1 \subset M$ of (isometric) embeddings of Riemannian manifolds and compare the results obtained by directly conditioning from $M$ to $L_2$ with the successively conditioning first to $L_1$, then to $L_2$. We prove that these surface measures differ in general, but we are able to give a cocycle relation between them.

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