Monitoring coherent systems: exact and computational statistical inference

Hermanns, Marius Lukas; Cramer, Erhard; Kamps, Udo

doi:HT020254940

Monitoring coherent systems: exact and computational statistical inference = Überwachung kohärenter Systeme: Exakte und computerbasierte statistische Inferenzverfahren

Hermanns, Marius Lukas^RWTH*

2019

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Marius Lukas Hermanns, M.Sc.

ImpressumAachen 2019

Umfang1 Online-Ressource (vii, 249 Seiten) : Illustrationen, Diagramme

Dissertation, RWTH Aachen University, 2019

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Cramer, Erhard (Thesis advisor)^RWTH* ; Kamps, Udo (Thesis advisor)^RWTH*

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2019-07-11

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2019-09683
URL: http://publications.rwth-aachen.de/record/770709/files/770709.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
EM algorithm (frei) ; Weibull distribution (frei) ; coherent systems (frei) ; exponential distribution (frei) ; fixed-point approach (frei) ; progressive censoring (frei) ; statistical inference (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
In dieser Arbeit werden verschiedene Modelle mit Komponenten- und Systemlebensdauern thematisiert. Es wird zwischen permanenter Überwachung eines Systems, wobei die Lebensdauern aller relevanten Komponenten beobachtet werden, und einem Datensatz mit Systemlebensdauern unterschieden. Da permanent überwachte kohärente Systeme mit progressiver Typ-II Zensierung zusammenhängen, werden bekannte Resultate für kohärente Systeme, progressive Zensierung und permanente Überwachung in Teil I präsentiert (Kapitel 1-4). In Teil II werden neue permanente Überwachungsmodelle mit entsprechenden Verteilungen, parametrischen Schätzern und Berechnungsverfahren eingeführt. Zuerst wird das neue Modell gestoppte Überwachung mit maximaler Fehleranzahl betrachtet. Dabei wird eine maximale Anzahl an Ausfällen der Komponenten festgelegt. Bei gestoppter Überwachung mit Stoppzeit wird die Überwachung spätestens gestoppt, wenn die Stoppzeit erreicht ist. Ein solcher Eingriff ist nötig bei Restriktionen wie Kosten und Kapazität. Die permanente Überwachung bis zum Systemausfall wird als perfekte Überwachung bezeichnet, da eine “perfekte” Stichprobe mit Ausfallzeiten aller relevanten Komponenten erreicht wird. Weiter werden unterschiedliche Verteilungsstrukturen der Komponenten angenommen wie unabhängige identisch verteilt (IID), unabhängig nicht-identisch verteilt (INID), abhängig nicht-identisch verteilt (DNID) und fehlerabhängig. Zwei Informationsmodelle werden betrachtet: Ein Modell mit vollständiger Information (CI), welche Ausfallzeit zu welcher Komponente gehört; und ein Modell ohne diese Information (ICI). Die Überwachungsmodelle, Verteilungsstrukturen der Komponenten und Informationsmodelle werden zu Triple-Modellen kombiniert. In Kapitel 5 wird gezeigt, dass gestoppte Überwachung mit maximaler Fehleranzahl unter dem IID Modell auf eine Rechtszensierung einer progressiv Typ-II zensierten Stichprobe hinausläuft. Für das CI Modell mit Exponential- bzw. Weibull Verteilung werden bekannte Resultate über Likelihood-Inferenz und Konfidenzintervalle adaptiert. Für das ICI Modell mit Exponentialverteilung wird ein Fixpunkt-Verfahren zur Berechnung des Maximum-Likelihood-Schätzers (MLE) zu dem bekannten EM-Algorithmus zugefügt. In Kapitel 6 wird eine Beziehung zwischen Typ-I progressiver Hybridzensierung und gestoppter Überwachung mit Stoppzeit unter dem IID Modell vorgestellt. Für das CI Modell werden Likelihood-Inferenz und Konfidenzintervalle einer Exponential- bzw. Weibull Verteilung analysiert. Ein EM-Algorithmus und eine Fixpunkt-Iteration zur Berechnung des MLE einer Exponentialverteilung werden hergeleitet für das ICI Modell. Kapitel 7 behandelt die Kombination von perfekter Überwachung und dem INID Modell. Es werden MLEs und Momenten-Methode-Schätzer für Skalenparameter von Exponentialverteilungen hergeleitet. MLEs existieren nur mit der Bedingung, dass mindestens eine Lebensdauer zu jedem unbekannten Parameter beobachtet wird. In Kapitel 8 werden zwei Modelle für abhängige Komponenten vorgestellt. Das erste Modell einer perfekten Überwachung mit fehlerabhängigen Komponenten hängt mit sequentiellen Ordnungsstatistiken zusammen und es können einige Resultate über Likelihood-Inferenz angewendet werden. Das zweite Modell beleuchtet die perfekte Überwachung mit DNID Lebensdauern, wobei die Abhängigkeit mit einer Copula modelliert wird. Parametrische Inferenz für Archimedean Copulas (Clayton Familie) wird diskutiert mit Maximum-Likelihood-Schätzung, Kendalls-Tau-Methode, kanonischer Maximum-Likelihood-Schätzung und Schätzung mittels Inferenzfunktionen der Randverteilungen. Für Farlie-Gumbel-Morgenstern Copulas sind die Methoden basierend auf Likelihood-Funktionen nicht geeignet und nur die Kendalls-Tau-Methode kann verwendet werden. In Teil III werden verschiedene Setups mit Systemlebensdauern behandelt. Typ-I progressive Hybridzensierung von Systemlebensdauern wird in Kapitel 9 thematisiert. Für Exponentialverteilungen werden Fixpunkt-Verfahren hergeleitet, von nicht-zensierten Lebensdauern beliebiger Systeme und von progressiv Typ-II zensierten k-aus-n Systemlebensdauern. Weitere EM-Algorithmen werden in Kapitel 10 vorgestellt. Dabei werden Systemlebensdauern als unvollständige Stichprobe einer permanenten Überwachung aufgefasst. Abschließend wird damit eine Verbindung von permanenter Überwachung aus Teil II und Systemlebensdauern aus Teil III aufgedeckt. In dieser Arbeit unterstreichen Simulationsstudien die Vorteile der hergeleiteten Fixpunkt-Verfahren und EM-Algorithmen gegenüber dem Newton-Raphson-Verfahren in Hinsicht auf Konvergenz und Berechnungszeit. Darüber hinaus wird die Konvergenz der Fixpunkt-Verfahren unter bestimmten Bedingungen bewiesen.

In this thesis, several models of component and system lifetimes are discussed. We differentiate between continuous monitoring of a system, where the lifetimes of all relevant components are observed, and system lifetime data. Since continuous monitored coherent systems are connected to progressive Type-II censoring, we present known preliminary results about coherent systems, progressive censoring and continuous monitoring in Part I (Chapter 1-4). In Part II, we introduce new continuous monitoring models and derive distribution results, parametric estimators and computation methods. First, we consider a new model called stopped monitoring by stopping number, where a maximum number of observed component failures is prefixed. Similarly, we introduce stopped monitoring by stopping time, where the continuous monitoring process stops at the latest at a previously chosen threshold time. Such an intervention can be due to restrictions like costs and capacity. To distinguish, continuous monitoring until the system failure is called perfect monitoring since we have a “perfect” sample with all lifetimes of relevant components. Further, we discuss various distribution structures of components like independent identically distributed (IID), independent non-identically distributed (INID), dependent non-identically distributed (DNID), and failure-dependent. Continuous monitoring was introduced with two different settings: an observation with complete information (CI) about which failure time belongs to which component; and a setup without this information called incomplete information (ICI). The continuous monitoring models, distribution structures of components and information models are combined to triple models. In Chapter 5, we show that stopped monitoring by stopping number with the IID model is connected to right censoring of a progressive Type-II censoring sample. For the CI model, we apply known results about likelihood inference and confidence intervals for exponential and Weibull distributions. For the ICI model and exponential distributions, we add a fixed-point iteration procedure to compute the maximum likelihood estimator (MLE) to a known EM algorithm approach. In Chapter 6, we present a link of stopped monitoring by stopping time with the IID model and Type-I progressive hybrid censoring. For the CI model, we discuss likelihood inference and illustrate confidence intervals for exponentially and Weibull distributed component lifetimes. Again, we derive an EM algorithm approach and a fixed-point iteration method to compute the MLE of an exponential distribution for the ICI model. Chapter 7 is about a combination of perfect monitoring and the INID model. We establish distribution results for the observed data. Moreover, we discuss likelihood inference and present a method of moments approach to estimate the scale parameter of exponential distributions. MLEs only exist under the condition that at least one component lifetime is observed for every unknown parameter. In Chapter 8, we present two models for dependence of components. First, distribution results are established for perfect monitoring with failure-dependent components. The model is connected to sequential order statistics and several results about likelihood inference are adaptable. As a second model, perfect monitoring with the DNID component lifetimes is considered. The dependence of components is modelled by a copula. We analyzed parametric inference for Archimedean copulas (Clayton family) and applied several estimation methods like maximum likelihood estimation, Kendall’s tau procedure, estimation method of inference functions for margins and canonical maximum likelihood estimation. For Farlie-Gumbel-Morgenstern copulas, maximum-likelihood-based approaches are not suitable for parametric inference. In this case, Kendall’s tau method is a reasonable choice to estimate an unknown dependence parameter as it is not based on any likelihood equation. In Part III, we consider different setups with system lifetimes. Type-I progressive hybrid censoring of system lifetimes is analyzed in Chapter 9. We illustrate fixed-point procedures for exponential distributions based on non-censored system lifetimes, and based on progressively Type-II censored k-out-of-n system lifetimes. For system lifetimes, further EM algorithm approaches are given in Chapter 10. Thereby, we interpret observed system lifetimes as an incomplete sample from a continuous monitoring process. Finally, we discover a link between continuous monitoring, which is discussed in Part II, and system lifetime data, which is the topic of Part III. Throughout the thesis, simulations underline the advantage of the fixed-point iterations and EM algorithm approaches w.r.t. convergence and computation time in comparison to the Newton-Raphson method. Moreover, the convergence of the fixed-point iterations is proved under certain conditions.

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