Adaptive source term iteration : a stable formulation for radiative transfer

Gruber, Felix Josef; Dahmen, Wolfgang; Torrilhon, Manuel

doi:10.18154/RWTH-2018-230893

Adaptive source term iteration : a stable formulation for radiative transfer = Adaptive Source Term Iteration: Eine stabile Formulierung für Strahlentransport

Gruber, Felix Josef^RWTH*

2018 & 2019

Verantwortlichkeitsangabevorgelegt von Felix Josef Gruber

ImpressumAachen 2018

Umfang1 Online-Ressource (107 Seiten) : Illustrationen

Dissertation, RWTH Aachen University, 2018

Veröffentlicht auf dem Publikationsserver der RWTH Aachen University 2019

Genehmigende Fakultät
Fak01

Hauptberichter/Gutachter
Dahmen, Wolfgang (Thesis advisor)^RWTH* ; Torrilhon, Manuel (Thesis advisor)^RWTH*

Tag der mündlichen Prüfung/Habilitation
2018-05-30

Online
DOI: 10.18154/RWTH-2018-230893
URL: http://publications.rwth-aachen.de/record/750850/files/750850.pdf

Einrichtungen

Inhaltliche Beschreibung (Schlagwörter)
DPG transport solver (frei) ; fast application of scattering operator (frei) ; iteration in function space (frei)

Thematische Einordnung (Klassifikation)
DDC: 510

Kurzfassung
Das Strahlungstransportproblem ist ein Modell, das zur Beschreibung von Partikeln verwendet wird, die sich in einem Medium bewegen, mit dem die Teilchen interagieren können. Es wird in einer Vielzahl von Bereichen eingesetzt, darunter Kernphysik, medizinische Bildgebung und Astrophysik. Aus numerischer Sicht ist es, aufgrund seines Transportcharakters und seiner relativ hohen Dimensionalität mit einer 2d-1-dimensionalen Lösung (d räumliche und d-1 direktionale Dimensionen), ein herausforderndes Problem. Ein Integraloperator über den Richtungsbereich führt zu einer globalen Kopplung aller Richtungen, was die hohe Dimensionalität zusätzlich verschlimmert. Die Lösung des Strahlungstransportproblems erfolgt traditionell entweder über die nichtdeterministische Monte-Carlo-Methode oder mit deterministischen Lösern wie der Momente Methode und der Methode der diskreten Ordinaten. Diese deterministischen Methoden verwenden normalerweise ziemlich strenge Annahmen, um a priori Schätzungen des Diskretisierungsfehlers zu erhalten, die in realistischen physikalischen Problemen möglicherweise nicht gelten. In dieser Arbeit präsentieren wir eine neue deterministische Methode zur Lösung des Strahlungstransportproblems, das genaue a posteriori-Fehlerschätzungen der diskreten Lösung liefert. Diese Methode basiert auf einer idealen Fixpunktiteration in einem unendlich-dimensionalen Raum, die approximativ, mit dynamisch aktualisierter Genauigkeit, gelöst wird. Daher nennen wir diese neue Methode Adaptive Source Term Iteration, oder kurz ASTI. Die Verwendung von a-posteriori-Fehlerschätzungen ermöglicht es uns, Probleme mit weniger regelmäßigen Lösungen zu lösen und auch den Rechenaufwand durch Verwendung adaptiv gewählter Gitter zu reduzieren. Der Hauptunterschied im Hinblick auf vorhandene Quellterm-Iterationsmethoden, die in fixen diskreten Räumen iterieren, ist, dass ASTI während der Iteration die Räume sowohl im räumlichen als auch im Richtungsbereich anpasst. Auf diese Weise können wir den Fehler unserer Iteration kontrollieren, um Konvergenz zur exakten Lösung zu garantieren. Für den Transportlöser verwenden wir eine diskontinuierliche Petrov-Galerkin-Methode (DPG) von Broersen, Dahmen und Stevenson. Sie eignet sich gut für die Art von linearen Transportproblemen, die wir aus der Adaptive Source Term Iteration erhalten und liefert zuverlässige a-posteriori-Schätzungen. Diese basieren auf der Stabilitätstheorie von Banach-Nečas-Babuška, die sich auf die Existenz von Inf-Sup-Abschätzungen konzentriert. Diese Adaptivitätstheorie, die auf a-posteriori-Fehlerschätzern basiert, ist neu für Strahlungstransportprobleme. Da die Analysis sehr kompliziert wird, müssen wir auch neue Herausforderungen in der Implementierung lösen. Dies ist insbesondere in der Verwaltung der Gitterstrukturen der Fall, wenn Transportlösungen, die auf verschiedenen adaptiv verfeinerten Gittern leben, kombiniert werden. Unsere Implementierung der Adaptive Source Term Iteration basiert auf der Dune-DPG-Bibliothek, die durch Code für eine adaptive Approximation des Kollisionsoperators und zur Kombination von Lösungen, die auf unterschiedlich verfeinerten Gittern leben, erweitert wurde. Zum Schluss lösen wir mit unserer ASTI-Implementierung ein Beispielproblem, das veranschaulicht, wie die Adaptivität die Größe der diskreten Formulierung in einem realisierbaren Bereich hält und zertifizierte Fehlerschranken garantiert.

The radiative transfer problem is a model used to describe particles moving in a medium with which the particles might interact. It is used in a broad variety of fields including nuclear physics, medical imaging and astrophysics. From a numerical perspective, it is a challenging problem, due to its transport character and relatively high dimensionality with a 2d−1 dimensional solution (d spatial and d−1 directional dimensions). An integral operator over the directional domain introduces a global coupling of all directions that further complicates the high dimensionality. Solving the radiative transfer problem is traditionally done either using the non-deterministic Monte Carlo method or with deterministic solvers like the method of moments and the discrete ordinates method. Those deterministic methods usually use rather strong assumptions to obtain a priori estimates on the discretization error that might not hold in realistic physical settings. In this thesis, we propose a new deterministic method for solving the radiative transfer problem that gives rigorous a posteriori error estimates on the discrete solution. This method is based on an ideal fixed-point iteration in an infinite-dimensional setting that is solved approximately with dynamically updated accuracy. Thus, we call this new method Adaptive Source Term Iteration or ASTI for short. The use of a posteriori error estimates allows us to solve problems with less regular solutions and also reduces the computational costs by using adaptively chosen grids. The main difference with regard to existing Source Term Iteration methods, which iterate in fixed discrete spaces, is that ASTI adapts the spaces, in both the spatial and directional domain, during the iteration. This way, we can control the error of our iteration to guarantee convergence towards the exact solution. For the transport solver, we use a Discontinuous Petrov-Galerkin (DPG) method from Broersen, Dahmen and Stevenson. It is well suited for the kind of linear trans-port problems we obtain from the Adaptive Source Term Iteration and gives reliable a posteriori error estimates. This is based on Banach-Nečas-Babuška stability theory which centers around the existence of inf-sup estimates. All this adaptivity theory based upon a posteriori error estimators is new in the context of radiative transfer problems. As the analysis gets more involved, we also have to solve new implementational challenges. This can especially be seen in the grid management which involves combining transport solutions living on different adaptively refined grids. Our implementation of the Adaptive Source Term Iteration is built upon the general-purpose Dune-DPG library which was extended by code for an adaptive scattering approximation and for combining solutions living on differently adapted grids. Finally, we give two example problems computed with our ASTI implementation which illustrate how the adaptivity keeps the size of the discretized formulation in a feasible range while guaranteeing certified error bounds.

OpenAccess:
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