INVERSE PROBLEMS OF DETERMINING BOUNDARY REGIMES
- Authors: Verzhbitskiy M.A.1
-
Affiliations:
- Югорский государственный университет
- Issue: Vol 13, No 3 (2017)
- Pages: 51-59
- Section: Articles
- URL: https://vestnikugrasu.org/byusu/article/view/7769
- DOI: https://doi.org/10.17816/byusu201713351-59
- ID: 7769
Cite item
Full Text
Abstract
Full Text
Введение
В работе рассматриваются математические модели, описываемые параболическими системами вида:
где – ограниченная область с границей , , , – матрицы размерности и вектор-функция длины . Положим , . Уравнение (1) дополняется краевыми и начальными условиями вида
, , (2)
где и – внешняя единичная нормаль к . Обратная задача состоит в нахождении решения задачи (1)-(2) и функции вида , где функции неизвестны, по данным переопределения
, , (3)
где – скалярное произведение в . Положим .
Обратные задачи о нахождения неизвестных граничных режимов, в частности, задачи конвективного теплообмена, являются классическими (см., например, [1–10]). Они возникают в самых различных задачах математической физики: управление процессами теплообмена и проектирование тепловой защиты, диагностика и идентификация теплопередачи в сверхзвуковых гетерогенных потоках, идентификация и моделирование теплопереноса в теплозащитных материалах и покрытиях, моделирование свойств и тепловых режимов многоразовой тепловой защиты аэрокосмических аппаратов, исследование композиционных материалов и т. п. Математические модели и соответствующие обратные задачи описываются, например, в монографии [1]. Здесь основное внимание уделено численным метода решения этих задач, а также некоторым результатам в виде теорем единственности и оценок устойчивости. Отметим также монографию [2], посвященную в основном численным методам решения, где в одномерной ситуации рассматриваются разнообразные постановки обратных задач для параболических уравнений, в том числе и задачи определения граничных режимов. Здесь данные переопределения – значения решения в точках, лежащих внутри пространственной области. Эти задачи изучались и в других постановках в зависимости от типа условий переопределения. Очень часто они некорректны в смысле Адамара, в частности, в тех случаях, когда данные переопределения – значения решения в отдельных точках или на поверхностях, лежащих внутри области определения (см. [1]). В данной работе мы рассматриваем задачи с условиями переопределения в виде некоторых интегралов от решения с весом по пространственной области. Отметим, что условия такого вида очень часто используются в литературе и возникают в приложениях. Обратные задачи об определении коэффициентов уравнения или правой части с интегральными условиями переопределения рассматривались в работах [11–17] и монографиях [18], [19], и некоторых других работах. В частности теорема существования и единственности обобщенного решения задачи (1)–(3) (из класса )в случае , была получена в работе [8], а в [9] аналогичный результат был получен для системы тепломассопереноса, состоящей из системы Навье-Стокса и параболического уравнения для концентрации переносимого вещества. В работе [10] была доказана регулярная разрешимость ( ) также для случая . Однако условия на данные здесь более сильные, чем наши, в частности, имеются и условия на нормы данных (см. [10, теорема 1]). Наши результаты получены при более слабых условиях на данные условия на данные и немного в других функциональных классах, решение уравнение (1) в нашем случае ищется в классе . Аналогичные результаты получены в работе [25], но в случае . Мы обобщаем результаты этой работы на случай .
Вспомогательные результаты
Пусть – банахово пространство. Через ( – область в ) обозначается пространство сильно измеримых функций, определенных на со значениями в и конечной нормой [20]. Мы также используем пространства , состоящие из функций, имеющих в все производные до порядка включительно, непрерывные в и допускающие непрерывное продолжение на замыкание . Обозначения для пространств Соболева , и т. д. – стандартные (см. [22, 20]). Если или , то последнее пространство обозначаем просто через . Аналогично вместо или используем обозначение или . Таким образом, включение (или ) для данной вектор-функции означает, что каждая из компонент принадлежит пространству (или ). В этом случае под нормой вектора понимаем сумму норм координат. Для данного интервала , положим .
Соответственно, . Определения пространств Гельдера , могут быть найдены, например, в [21]. Все рассматриваемые пространства и коэффициенты уравнения (1) мы считаем вещественными.
Далее считаем, что – ограниченная область в с границей класса (см. определение, например, в [21, 17]). Пусть , если и скалярные функции и , если и вектора длины , и .
Мы будем использовать в пространстве – банахово пространство) норму , .
Если , то мы получим обычное пространство . При положим . Это банахово пространство с нормой . В нем также можно определить и эквивалентную норму . Эквивалентность вытекает, например, из леммы 1 пункта 3.2.6 [20]. Аналогично определяем пространства , , состоящее из функций из и , соответственно, таких, что . Новые нормы , определяются естественным образом с использованием вышеприведенной нормы в . Ниже мы приведем лемму, докозательсво которой может быть найдено в [25].
Лемма 1. Пусть и . Тогда справедливы следующие утверждения.
- Пусть . Тогда после может быть изменения на множестве меры ноль . Если и продолжение нулем функции при , то справедлива оценка
,
где постоянная не зависит от и .
- Произведение функций класса снова принадлежит , а если и , то и справедлива оценка
,
где постоянная не зависит от и .
- Если функция строго отделена от нуля на , т. е. , то отношение функций класса снова принадлежит и справедлива оценка
,
где постоянная не зависит от функции , но зависит от и стремится к при .
- Пусть , и . Тогда и и справедливы оценки
,
,
где постоянная не зависит от
Приведем используемые ниже условия на данные задачи. Зафиксируем число .
Условия на коэффициенты:
, ,
где , – положительное число.
, , .
Считаем, что существует постоянная такая, что
, .
Условия на данные задачи:
, (12)
, ,
, , , , . (14)
Как следствие из теоремы 10.4 гл. 7 в [21] и пункта 4.3 в [26] имеем:
Теорема 1. Пусть – ограниченная область с границей класса и выполнены условия . Тогда существует единственное решение задачи такое, что . Решение удовлетворят оценке
.
Как следствие теоремы 1 имеем:
Теорема 2. Пусть – ограниченная область с границей класса , и выполнены условия , где и . Пусть . Тогда на промежутке существует единственное решение задачи такое, что . Решение удовлетворяет оценке
,
где постоянная не зависит от и .
Доказательство. Продолжим нулем при , и пусть .
Очевидно, что . Используя теорему 1, построим решение задачи (1)-(2), где , и такое, что . По теореме 1 имеем:
.
Оценим правую часть. Имеем, используя лемму 1, что
.
Мы здесь использовали аддитивность пространств Соболева относительно разбиения области (см. замечание 3 пункта 4.4.1 в [20]) и определение соответствующей нормы.
Основные результаты
В дополнение к приведенным выше условиям на данные мы потребуем, чтобы:
,
где – матрица с элементами ;
, ; (16)
функция принадлежит линейной оболочке вектор-функций
.
Основной результат работы – это следующая теорема (как и ранее ).
Теорема 3. Пусть – ограниченная область с границей класса и выполнены условия , и условие . Тогда существует единственное решение задачи такое, что , . Решение удовлетворят оценке
.
Доказательство. Пусть есть решение задачи , где . В силу условий и (A) найдутся постоянные, определяемые единственным образом, такие, что . Положим , и обозначим через решение задачи (см. теорему 1)
, , . (17)
Пусть . По условиям . Тогда по лемме 1 и соответственно . Сделаем замену . Тогда функция есть решение задачи
, , . (18)
Условие (3) преобразуется к виду
, . (19)
В силу условия (16), и по крайней мере . Ниже мы покажем, что . Умножим уравнение в (18) на и интегрируем по области . Получим . Здесь .
, ,
,
где . Последнее равенство можно записать в виде:
(20)
или в виде:
, , , (21)
где . Функция , участвующая в (21), есть решение прямой задачи (18). Элементы матрицы обладают тем свойством, что , более того справедлива очевидная оценка:
.
Как было отмечено в доказательстве леммы 1, теоремы вложения гарантируют, что . Следовательно, без ограничения общности можем считать, что . Используя условие (15), можем записать
, (22)
где и k-я координата вектора имеет вид . Это искомое уравнение для нахождения . Рассмотрим промежуток . Оценим . В силу второго и третьего утверждения леммы 1, элементы обратной матрицы также принадлежат классу . Тогда в силу оценки (7) из леммы 1 получим неравенство
. (23)
Оценим каждое из слагаемых, входящих в :
.
В силу неравенства Минковского, неравенства Гельдера и леммы 1 имеем, что
. (24)
Отметим, что
. (25)
Здесь под понимаем , . Воспользовавшись неравенством (вытекающем из равенства , теорема 4.3.1 в [20])
,
для первого слагаемого в правой части имеем
.
Из формулы Ньютона-Лейбница имеем . Тогда последнее неравенство записывается в виде
. (26)
Оценим второе слагаемое в правой части (25). Имеем
. (27)
Далее построим продолжение функции из области на все с сохранением класса такое, что – линейный оператор, удовлетворяющий оценкам: , для всех или соответственно , где постоянная не зависит от . Такой оператор существует, например, это метод Хестенса продолжения функций (см. метод, описанный в лемме 2.9.3 в [20] для полупространства и многократно использованный позднее уже для произвольных областей). Имеем, что и , где постоянная не зависит от и . Отметим, что . Имеем
. (28)
Сделаем замену переменных , . Тогда последний интеграл примет вид .
. (29)
Если , то (см., например, лемму 3.8 в [22], или вложения перед леммой 7.2 и лемму 7.2 в [23], или теорему 18.4 в [24]) справедлива оценка
,
где постоянная не зависит от . Тогда интеграл в (29) оценивается через
, (30)
где мы используем в – одну из эквивалентных норм. Возвращаясь к старым переменным и используя вышеприведенную оценку для оператора , получим
, (31)
где постоянная не зависит от . Из (24)–(31) вытекает оценка
, (32)
где постоянная не зависит от . Слагаемые вида в выражении оцениваются точно так же. Слагаемое оценивается проще. Имеем в силу леммы 1, что
, (33)
. (34)
Используя представление во втором интеграле и равенство в первом, а также неравенство Гельдера, получим оценку
. (35)
Тогда будем иметь, что
, (36)
где – постоянная, не зависящая от . Легко увидеть, что в процессе доказательства оценок (26), (31), мы также получили неравенство
, (37)
где постоянная не зависит от . Действительно, используя определение нормы, мы получим
. (38)
Необходимая оценка первого слагаемого вытекает из оценок (28), (36). Оценка второго интеграла вытекает из оценок (27)-(31), (35).
Оценим последнее слагаемое . Имеем, что
. (39)
Здесь мы воспользовались неравенством Гельдера, вложением и оценкой (37). Из оценок (23), (32), (36), (39) вытекает, что
, (40)
где постоянная не зависит от . В силу теоремы 2 имеем, что
. (41)
В силу леммы 1 имеет место оценка
.
Здесь постоянная зависит от величин . Тогда из (40), (41) получим оценку
, (42)
где постоянная не зависит от и . Оценка (42) говорит о том, что при оператор сжимающий и, следовательно, уравнение (22) имеет единственное решение из пространства при условии, конечно, что . По условию . Покажем, что , т. е. . Умножим уравнение в (17) на и проинтегрируем по области . Получим равенство
, . (43)
Повторяя рассуждения, используемые при оценке нормы , но только уже на всем промежутке [0,T], и вместо этой нормы берем стандартную норму в пространстве , можем легко показать, что правая часть в этом равенстве принадлежит пространству и, таким образом, . Таким образом, уравнение (22) имеет единственное решение на промежутке . Найдем решение задачи (18). Покажем, что выполнены условия (19). Умножим уравнение в (18) на и интегрируем по области . Используя (17), (18) и интегрирование по частям, получим
, .
Вектор-функция удовлетворяет системе (20), складывая -е уравнение с полученным равенством и сокращая, придем к равенству
, ,
интегрируя которое по и пользуясь начальным условием, получим (19) на .
Покажем далее, что решение продолжимо на весь промежуток [0,T]. Мы определили вектор-функцию только на . Продолжим найденную вектор-функцию нулем при и положим . Координаты вектора обозначим через . Построенная вектор-функция принадлежит . Сделаем замену . Построенная вектор-функция с координатами удовлетворяет системе
. (44)
В силу определения правая часть в этом равенстве и соответственно вектор обращаются в ноль на . Пусть – решение задачи
, , . (45)
Тогда функция есть решение задачи
, , . (46)
В силу теоремы 1, при . Таким образом, задача о продолжении вектор-функции сводится к построению решения системы
, (47)
где
,
и функция – решение задачи (46). Решение системы при обращается в ноль. Мы пришли к той же системе, но нулевые данные Коши у нас уже задаются в точке , и изменилась правая часть системы, точнее вектор . Далее мы повторяем рассуждения и оценки уже на промежутке . Рассуждения те же самые, и более того без ограничения общности можем считать, что и все постоянные, возникающие при оценке нормы оператора , также те же самые. Таким образом, система (47) разрешима на промежутке . Повторяя рассуждения на и т. д., мы построим решение на всем . Оценка из утверждения теоремы фактически была получена в процессе доказательства.
About the authors
Mark Andreevich Verzhbitskiy
Югорский государственный университет
Author for correspondence.
Email: grandapachi@gmail.com
Аспирант кафедры высшей математики Института (НОЦ) технических систем и информационных технологий
Russian Federation, 628012, г. Ханты-Мансийск, ул. Чехова, 16References
- Алифанов, O. M. Обратные задачи сложного теплообмена [Текст] / О. М. Алифанов, Е. А. Артюхов, А. В. Ненароком. – Москва : Янус-К, 2009.
- Ozisik, M. N. Inverse heat transfer [Text] / M. N. Ozisik, H. A. B. Orlando. – New-York : Taylor & Francis, 2000.
- Костин, А. Б. О некоторых задачах восстановления граничного условия для параболического уравнения, I. [Текст] / А. Б. Костин, А. И. Прилепко // Дифференц. уравнения. – 1996. – Т. 32, № 1. – С. 1319–1328.
- Борухов, В. Т. Применение неклассических краевых задач для восстановления граничных режимов процессов переноса [Текст] / В. Т. Борухов, В. И. Корзюк // Вестник Белорусского университета. – 1998. – Сер. 1, № 3. – C. 54–57.
- Tryanin, A. P. Determination of heat-transfer coefficients at the inlet into a porous body and inside it by solving the inverse problem [Text] / A. P. Tryanin // Inzhenerno-Fizicheskii Zhurnal. – 1987. – Vol. 52, № 3. – Pp. 469–475.
- Борухов, В. Т. Сведение одного класса обратных задач теплопроводности к прямым начально-краевым задачам [Текст] / В. Т. Борухов, П. Н. Вабищевич, В. И. Корзюк // Инжин.-физический журнал. – 2000. – Т. 73, № 4. – C. 742–747.
- Короткий, А. И. Реконструкция граничных режимов в обратной задаче тепловой конвекции несжимаемой жидкости [Текст] / А. И. Короткий, Д. А. Ковтунов // Тр. ИММ ДВО АН. – 2006. – Т. 12. – C. 88–97.
- Абылкаиров, У. У. Обратная задача интегрального наблюдения для общего параболического уравнения [Текст] / У. У. Абылкаиров // Математический журнал. – 2003. – Т. 3, № 4(10). – С. 5–12.
- Абылкаиров, У. У. Обратная задача для системы тепловой конвекции [Текст] / У. У. Абылкаиров, А. А. Абиев, С. Е. Айтжанов // Молодежная международная научная школа-конференция «Теория и численные методы решения обратных и некорректных задач». – Новосибирск, 2009. – C. 10–11.
- Кожанов, А. И. Линейные обратные задачи для некоторых классов нелинейных нестационарных уравнений [Текст] / А. И. Кожанов // Сиб. электр. известия. – 2015. – Т. 12. – C. 264–275.
- Iskenderov, A. D. Inverse problem for a linear system of parabolic equations [Text] / A. D. Iskenderov, A.Ya. Akhundov // Doklady Mathematics. – 2009. – Vol. 79, № 1. – Pp. 73–75.
- Ismailov, M. I. Inverse problem of finding the time-dependent coefficient of heat equation from integral overdetermination condition data [Text] / M. I. Ismailov, F. Kanca // Inverse Problems in Science and Engineering. – 2012. – Vol. 20, № 24. – P. 463–476.
- Jing Li, Youjun Xu An inverse coefficient problem with nonlinear parabolic equation [Text] / Jing Li // J. Appl. Math. Comput. – 2010. – Vol. 34. – Pp. 195–206.
- Kerimov, N. B. An inverse coefficient problem for the heat equation in the case of nonlocal boundary conditions [Text] / N. B. Kerimov, M. I. Ismailov // J. of Mathematical Analysis and Applications. – 2012. – № 396, № 2. – Pp. 546–554.
- Кожанов, А. И. Параболические уравнения с неизвестным коэффициентом, зависящим от времени [Текст] / А. И. Кожанов // Ж. Вычисл. Матем. и матем. физ. – 2005. – Т. 45, № 12. – C. 2168–2184.
- Пятков, С. Г. Об определении функции источника в математических моделях конвекции-диффузии [Текст] / С. Г. Пятков, А. Е. Сафонов // Математические заметки СВФУ. – 2014. – Т. 21, № 2. – C. 117–130.
- Криксин, Ю. А. Обратная задача восстановления плотности источника для уравнения конвекции-диффузии [Текст] / Ю. А. Криксин, С. Н. Плющев, Е. А. Самарская [и др.] // Матем. моделирование. – 1995. – Т. 7, № 11. – С. 95–108.
- Prilepko, A. I. Methods for solving inverse problems in Mathematical Physics [Text] / A. I. Prilepko, D.G. Orlovsky, I. A. Vasin. – New-York : Marcel Dekker, Inc, 1999.
- Ivanchov, M. Inverse problems for equations of parabolic type [Text] / M. Ivanchov // Math. Studies. Monograph Series. V. 10. – Lviv: WNTL Publishers, 2003.
- Трибель, Х. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы [Текст] / Х. Трибель. – Москва : Мир, 1980.
- Ladyzhenskaya, O. A. Linear and quasi-linear equations of parabolic type [Text] : Translations of Mathematical Monographs / O. A. Ladyzhenskaya, V. A. Solonnikov, N. N. Ural'tseva ; 23. American Mathematical Society. – Providence: AMS, RI, 1968.
- Denk, R. Optimal L_p-L_q-estimates for parabolic boundary value problems with inhomogeneous data [Text] / R. Denk, M. Hieber, J. Pruss // Math. Z. – 2007. – Vol. 257, № 1. – Pp. 193–224.
- Grisvard, P. Equations differentielles abstraites [Text] / P. Grisvard // Ann. Scient. Ec. Norm. Sup. 4^e series. – 1969. – Vol. 2. – Pp. 311–395.
- Бесов, O. В. Интегральные представления функций и теоремы вложения [Текст] / О. В. Бесов, В. П. Ильин, С. М. Никольский. – Москва : Наука, 1975.
- Пятков, С. Г. Обратные задачи об определении граничных данных [Текст] / С. Г. Пятков, М. А. Вержбицкий // Математические заметки СВФУ. – 2016. – Т. 23, № 2. – С. 3–18.
- Amann, H. Nonhomogeneous linear and quasilinear elliptic and parabolic boundary-value problems [Text] / H. Amann // in: Function Spaces, Differential Operators and Nonlinear Analysis (Friedrichroda, 1992), – 1993. – Vol. 133. – Pp. 9–126.