Resumos

1. Introdução

Existe uma grande variedade de procedimentos experimentais para determinar a velocidade do som no ar. Em linhas gerais pode-se separar as diferentes técnicas em duas grandes categorias, dependendo do processo de medida [¹[1] S.T. Silva, Propagação do Som: Conceitos e Experimentos. Dissertação de Mestrado, UFRJ, 2011.]: as técnicas diretas, que envolvem a razão entre distâncias percorridas e intervalos de tempo e as técnicas indiretas, que utilizam fenômenos ondulatórios, como ressonâncias e diferenças de fase para obter os valores da velocidade do som.

Quando a análise é de cunho didático e voltada a estudantes de ensino fundamental e médio que dominam conceitos básicos de cinemática e ondulatória, os métodos diretos são mais recomendados [²[2] R.M. Sutton, Demonstration Experiments in Physics (Editora McGraw-Hill, EUA, 1938).,³[3] J.C. Albergotti, Am. J. Phys. 49, 595 (1981); G.B. Karshner, Am. J. Phys. 57, 920 (1989); R.S. Worland and D.D. Wilson, The Physics Teacher 37, 53 (1999); V.B. Barbetta, Revista Brasileira de Ensino de Física 22, 447 (2000); I.H.S. Pettersen, The Physics Teacher 40, 284 (2002); C.E. Aguiar, M.A. Freitas, L. Laudares, Anais do XVI Simpósio Nacional de Ensino de Física, RJ (2005); R.M. Grala, E.S. Oliveira, A Física na Escola 6, 26 (2005); C.C. Carvalho, J.M. Santos e M.B. Marques, The Physics Teacher 46, 428 (2008).]. Em particular, Silva [¹[1] S.T. Silva, Propagação do Som: Conceitos e Experimentos. Dissertação de Mestrado, UFRJ, 2011.] propõe um procedimento experimental bastante simples para medir a velocidade do som diretamente, calculando a diferença de tempo entre dois sinais sonoros gerados simultaneamente mas que não chegam a um microfone ao mesmo tempo, pois percorrem caminhos dife-rentes.

As medidas indiretas em geral pressupõem um co-nhecimento mais aprofundado de fenômenos ondulatórios, em particular do conceito de diferença de fase entre ondas e o aparecimento de ondas estacionárias em tubos ressonantes [⁴[4] H.M. Nussenzveig, Curso de Física Básica 2 - Fluidos, Oscilações e Ondas, Calor (Editora Edgard Blucher Ltda, São Paulo, 1999).]. Portanto, a utilização destas técnicas com estudantes de ensino fundamental e médio requer atenção especial, de forma a garantir que a discussão não se torne muito técnica em detrimento do entendimento físico dos fenômenos que contribuem para o processo. Por outro lado, para estudantes de graduação em Física e áreas afins, tais medidas reforçam o entendimento destes fenômenos e são portanto mais recomendadas. Um exemplo clássico de uma medida deste tipo pode ser encontrado em diversas referências, já aparecendo por exemplo em livros didáticos da década de 1930 [²[2] R.M. Sutton, Demonstration Experiments in Physics (Editora McGraw-Hill, EUA, 1938).]. No procedimento experimental utiliza-se um tubo transparente flexível e um diapasão de frequência conhe-cida. O experimento consiste em encher parciamente o tubo com água, e fazer soar o diapasão. Conforme se varia a quantidade de água no tubo, encontra-se regiões de ressonância da coluna de ar com o diapasão. O estudo de ondas estacionárias em tubos fechados possibilita a determinação da velocidade no som no ar. Muito embora discuta aspectos importantes de física ondulatória, tal experimento apresenta imprecisão na determinação do ponto de ressonância pois depende da sensação auditiva do experimentador na coleta dos dados.

Uma maneira elegante de minimizar a imprecisão acima citada consiste em obter a velocidade do som indiretamente utilizando figuras de Lissajous [⁵[5] E. Maor, Trigonometric Delights (Editora Princeton University Press, EUA, 2002).]. A técnica foi proposta em meados da década de 1960 [⁶[6] H.J. Wintle, Am. J. Phys. 31, 942 (1963); Jon P. Vickery, The Physics Teacher 3, 170 (1965); R.E. Berg and D.R. Brill, The Physics Teacher 42, 40 (2004).] e utiliza um gerador de sinais com frequência bem definida, li-gado a um alto-falante, e um microfone que capta o som a distância fixa do alto-falante. O sinal gerado e o recebido são enviados a um osciloscópio que produz as diversas figuras de Lissajous, conforme a diferença de fase entre os dois sinais. Desta maneira, diminui-se conside-ravelmente a imprecisão na tomada de dados. Além disso, a técnica permite a discussão dos fenômenos ondulatórios por meio da soma de duas ondas defasadas e a composição dos movimentos na formação das figuras.

Neste trabalho apresentaremos uma técnica que une aspectos das experiências [²[2] R.M. Sutton, Demonstration Experiments in Physics (Editora McGraw-Hill, EUA, 1938).,⁶[6] H.J. Wintle, Am. J. Phys. 31, 942 (1963); Jon P. Vickery, The Physics Teacher 3, 170 (1965); R.E. Berg and D.R. Brill, The Physics Teacher 42, 40 (2004).]. O arranjo experimental é razoavelmente simples e de baixo custo, com material em geral disponível em laboratórios didáticos. Os fenômenos físicos envolvidos no processo possibilitam ao estudante observar e se aprofundar no entendimento de vários conceitos de física ondulatória, bem como discutir o conceito de superposição de movimentos, necessário para a compreensão da formação das diversas figuras de Lissajous. Iniciaremos a apresentação da experiência com a abordagem teórica de tubos ressonantes e figuras de Lissajous na sec. 2. A seguir descreveremos o aparato experimental na sec. 3. As discussões serão apresentadas na sec. 4. Finalizaremos o trabalho com as Conclusões na sec. 5.

2. Abordagem teórica

Nesta seção apresentaremos os pré-requisitos teóricos necessários ao entendimento da experiência.

2.1. Tubos Ressonantes

Sabe-se que cordas, membranas, lâminas, barras, etc., postas a vibrar podem produzir sons; colunas de ar também podem produzir sons, quando vibram adequadamente. Assim sendo, é comum a utilização de tubos sonoros na obtenção de sons com determinadas frequências, que formam a família dos instrumentos de sopro, como por exemplo, a flauta, o saxofone e o trombone.

Quando alguém sopra a extremidade aberta de um tubo, é gerada uma onda de compressão que se propaga pelo seu interior, empurrando as moléculas de ar nele contidas. Esta onda, propagando-se ao longo de um tubo de comprimento finito, é refletida na sua outra extremidade. Como resultado da interferência da onda incidente com a onda refletida, tem-se a formação de uma onda estacionária.

Este é o princípio de funcionamento de um tubo ressonante e ele é chamado aberto se possuir ambas extremidades abertas. Caso uma das extremidades seja fechada, ele será chamado tubo fechado.

Pode-se deduzir a expressão analítica de uma onda estacionária, como a que surge dentro de um tubo ressonante. Para construí-la, vamos admitir que dois trens de ondas senoidais unidimensionais (Fig. (1.a)) propagam-se com mesma frequência e amplitude, mas sentidos opostos. Matematicamente representamos estes dois trens de ondas por

e

onde $\lambda$ e vsão o comprimento da onda e sua velocidade, respectivamente. Além disso, por simplicidade considera-mos que as duas ondas possuem constante de fase nula. De acordo com o princípio da superposição, a onda resultante é dada por

O padrão que se observa para o deslocamento agora não é mais de uma onda se propagando e sim de uma variação da amplitude de oscilação ponto a ponto ao longo do espaço (Figs.(1.b) e (1.c)). Temos portanto uma onda estacionária. Para valores de xtais que

ou

a amplitude é sempre nula. Em outras palavras, estes pontos estão sempre em repouso e são denominados nós. Já para valores de x tais que

ou

a amplitude de oscilação é máxima e igual a $2y$. Tais pontos são os ventres. Os nós, assim como os ventres, estão portanto, separados por meio comprimento de onda. Na Fig. (1.c) podemos observar o comportamento destes pontos.

Caso a reflexão tenha lugar em uma extremidade fechada, o deslocamento das partículas, nessa extremidade, deve necessariamente ser nulo. Logo, essa extremidade é um nó de deslocamento. A Fig. (2) apresenta os dois primeiros modos de vibração em um tubo fechado. A primeira situação na figura representa o modo fundamental de vibração. Naturalmente, existem outros modos de vibração para este mesmo tubo (com frequências múltiplas inteiras e ímpares dessa frequência fundamental). Estes modos secundários de vibração são denominados harmônicos.

Os harmônicos de um tubo fechado têm comprimentos de onda $\frac{4L}{3},\frac{4L}{5},\frac{4L}{7}\cdots$ e portanto frequências de $3,5,7\cdots$ vezes a frequência fundamental, correspondente ao comprimento de onda da vibração fundamental, que para um tubo fechado de comprimento L é $\lambda =4L$.

Como a distância entre um nó e o ventre seguinte é um múltiplo impar de $\frac{1}{4}$do comprimento de onda, podemos escrever $L=\left(2n-1\right)\frac{\lambda }{4}$ou $\lambda =\frac{4L}{2n-1}$e portanto as frequências dos harmônicos são

onde $n=1,2,3\cdots$ A frequência do som fundamental ou primeiro harmônico (n = 1) é $f_1=\frac{v}{4L}$e assim por diante. Daí podemos enunciar as ”Leis de Marsenne” relativas aos tubos fechados:

1. O comprimento de onda do som fundamental emitido por um tubo fechado é o quádruplo do comprimento do tubo.

2. Os tubos fechados emitem apenas os harmônicos de ordem ímpar.

É importante ressaltar que todos os harmônicos estão presentes nas vibrações de um tubo aberto, ao passo que nas vibrações de um tubo fechado, apenas os harmônicos ímpares estão presentes. A qualidade ou timbre do som emitido por um tubo fechado difere, pois, da de um tubo aberto, mesmo que, por uma escolha adequada de comprimentos, as alturas ou frequências fundamentais sejam as mesmas.

2.2. Figuras de Lissajous

Figuras de Lissajous são um exemplo clássico de superposição de movimentos ondulatórios. Os primeiros estudos destas curvas foram desenvolvidos por Bowditch e Lissajous durante o Século XIX [⁷[7] J. Lissajous, Annals de Chimie et de Phisique 51, 140 (1849).]. Atualmente elas são utilizadas em diversas aplicações, tanto de cunho didático quanto tecnológico, como por exemplo para obter a frequência de um sinal desconhecido, ou determinar a diferença de fase entre dois sinais [⁸[8] J. Fleming e A. Hornes, Revista Brasileira de Ensino de Física 35, 3702 (2013) e referências nele contidas.].

Para entender como as figuras são formadas, considere que na placa horizontal de um osciloscópio é aplicada uma tensão senoidal do tipo:

e que na placa vertical é aplicada uma tensão de mesma frequência mas defasada de $\theta$, ou seja,

A imagem formada na tela do osciloscópio corresponde à composição dos dois movimentos. Matematicamente, ela é obtida ao eliminarmos o parâmetro t do sistema de equações e após algumas manipulações algébricas chegamos a

A Eq. (7) descreve, para um ângulo $\theta$ qualquer, uma elipse cujos semieixos em geral tem direções que não coin-cidem com as direções x e y. Em particular, para $\theta =0$obtemos

ou seja, a elipse colapsa para a reta

Quando $\theta =\pi$a reta obtida é

Outra situação interessante acontece quando $\theta =\frac{\pi }{2}$ou $\theta =\frac{3\pi }{2}$. Neste caso, a elipse obtida tem seus eixos coincidindo com os eixos coordenados. Em particular, quando as amplitudes dos dois sinais são iguais, a elipse colapsa para uma circunferência.

A situação onde as frequências das tensões aplicadas são diferentes leva a figuras mais complexas.

3. Descrição experimental

O aparato experimental usado na determinação da velocidade do som é mostrado na Fig. (3). As ondas senoidais são geradas no gerador de sinais (G) e conectadas ao canal vertical do osciloscópio. O sinal capturado pelo microfone (M), que corresponde à superposição da onda incidente com a refletida, alimenta o canal horizontal. Água é inserida no sistema de vasos comunicantes (V) de forma a controlar a coluna de ar. Sempre que a coluna tiver a altura necessária para formar um harmônico dentro do tubo com a mesma frequência da onda incidente, ocorre ressonância entre os dois sinais, que se observa no osciloscópio pela formação de aproximadamente uma circunferência (situação análoga à utilização de um diapasão). A escolha da frequência no gerador de sinais deve levar em consideração dois aspectos: de um lado, os limites da audição humana, de outro a necessidade de se obter um número considerável de harmônicos dentro do tubo. Assim, foram utilizados dois valores de frequência: 1290 Hz e 2000 Hz.

Para a tomada dos dados, inicialmente a coluna de água no tubo fechado é elevada de modo que não se tenha nenhum harmônico dentro dele. A seguir a colu-na de água deve descer lentamente até que se obtenha o primeiro harmônico ou harmônico fundamental (isso acontece quando a figura formada na tela do osciloscópio for aproximadamente uma circunferência). Neste ponto é medida a altura da coluna de ar. Este procedimento é repetido sucessivamente, e as alturas dos harmônicos seguintes são obtidas.

4. Resultados

As Tabelas 1 e 2 apresentam os dados com os resultados obtidos para as frequências no gerador de 1290 e 2000 Hz.

Os gráficos foram traçados para as duas situações (Figs. 4 e 5) e os valores obtidos pelo ajuste de curva linear para a velocidade do som no ar foram de

Considerando portanto estes dois valores obtemos um valor para a velocidade do som como sendo

Teoricamente, a velocidade do som no ar seco é dada por [⁹[9] R.E. Cohen, D. Lide and G. Trigg A Physicist's Desk Reference (Springer, New York, 1981).]

onde $T_{\text{k}}$é a temperatura ambiente na escala Kelvin. Considerando a temperatura ambiente na tomada dos dados como sendo de 299 K, obtemos o valor teórico de 345,8 m/s, que concorda com o valor obtido experimentalmente dentro da margem de erros.

5. Conclusões

Neste trabalho apresentamos uma técnica para medir a velocidade do som no ar que envolve o uso de tubos ressonantes e a construção de figuras de Lissajous em osciloscópios. O aparato experimental proposto é de considerável baixo custo e pode ser obtido facilmente em um curso de graduação em Física e áreas afins.

Ao fim do estudo o estudante deverá estar mais famili-arizado com o princípio da superposição de movimentos utilizado para explicar a formação das figuras de Lissajous.

A técnica para obter a velocidade do som apresentou uma concordância muito boa com os resultados teóricos. Para o valor mais baixo de frequência, onde não foi possível obter muitos dados experimentais, o erro foi maior. Já para o valor maior de frequência os valores concordaram mais ainda. Vale salientar que o valor teórico utilizado na comparação foi o do ar seco. Conforme a umidade do ar aumenta, o valor teórico também aumenta, influenciado pelo aumento da massa molar média das partículas constituintes do ar [¹[1] S.T. Silva, Propagação do Som: Conceitos e Experimentos. Dissertação de Mestrado, UFRJ, 2011.]. Uma vez que o experimento foi realizado em uma região com alta umidade do ar, observou-se também este efeito, em particular para o valor de frequência de 2000 Hz.

Referências

Datas de Publicação

Histórico