1. 引言

供电系统对用户持续供电的能力对工农业生产和人们日常生活有着重要影响。对于供电系统的用户供电可靠性统计评价与分析研究，是电力可靠性管理的一项重要工作。美国IEEE制定了供电系统可靠性标准IEEEstd-493-1980《可靠的工业与商用电力系统设计的推荐措施》 [1] 。美国电力研究院EPRI发布了供电系统可靠性研究报告，给出了供电系统可靠性的定义和方法 [2] 。IEEE标准IEEE std 1366TM-2012《IEEE配电系统可靠性指标导则》 [3]，给出了供电系统可靠性的统计和评价方法。我国从1994年起，电力可靠性管理中心每年召开新闻发布会，定期发布全国城市用户供电可靠性指标。2003年，电力可靠性管理中心制定了DL/T836《供电系统用户供电可靠性评价规程》 [4]，应用于供电系统可靠性的统计和评价。文献 [5] [6] [7] [8]，通过对全国城市用户的供电可靠性统计，分析了影响用户供电可靠性的预安排停电、故障停电的主要因素，提出了提高城市用户供电可靠性的建议。

在供电系统可靠性理论分析与工程实践方面，国内学者开展过深入的研究工作。文献 [9] 提出利用概率统计方法评估低压用户供电可靠性，对配电网的供电可靠性做出快速评估。文献 [10] 把电力系统故障处理为泊松分布，依据各类设备的运行平均故障率，开展了低压供电可靠性的模拟算法研究。文献 [11] 提出了低压系统用户供电可靠性的统计评价方法，给出了上海部分区域低压用户供电可靠性的统计结果。文献 [12] 研究了不同电源数对重要用户供电可靠性的影响，量化计算了7种供电模式的供电可靠性和经济性。文献 [13] [14] 分析了国内外常用供电可靠性的计算分析方法和可靠性管理体系。文献 [15] 介绍了一种基于概率统计模型的低压用户供电系统可靠性的评估方法。文献 [16] 介绍了供电可靠性提升措施优选的量化评价方法，提出了可靠性提升措施影响度指标的计算方法。文献 [17] 提出了中压配电网运行可靠性在线评估算法。文献 [18] 提出了一种基于网络抗毁度的配电网可靠性模型。文献 [19] 提出了一种基于配电网可靠性优化提升的灵敏度算法。文献 [20] 介绍了基于网架规划的县域配电网可靠性提升策略。

国家标准GB/T2900.13《电工术语可信性与服务质量》 [21]，把可靠性增长(Reliability Growth)定义为“以产品的可靠性量度随时间逐步提高为特征的一种过程”，表示供电系统可靠性增长的数学模型称为可靠性增长模型(Reliability Growth Model)。已有供电系统的可靠性统计，侧重于停电原因分析，提出可靠性改进措施，对促进供电系统用户供电可靠性增长发挥了积极作用。但是，在供电系统用户供电可靠性理论分析方面，还缺少量化的可靠性增长模型。供电系统可靠性管理的重要目标之一，就是促进供电系统的可靠性增长。中国电力企业联合会每年发布全国城市用户供电可靠性指标 [22]，各区域电网和主要城市面临供电可靠性不断增长的需求。对供电系统用户供电可靠性进行目标管理，急需供电系统用户供电可靠性增长的定量分析方法。以全国城市10 kV用户和国家电网及其下属区域电网城市10 kV供电系统为研究对象，通过研究供电系统用户供电可靠性的增长模型和验证方法，定量分析供电系统用户供电可靠性的变化趋势，对于提高我国供电系统用户供电可靠性水平具有十分重要的意义，亟待深入研究。

2. 基于幂函数的可靠性增长模型

2.1. 基于幂函数的通用可靠性增长模型

大多数机械与电子产品的主要可靠性的主要评价指标是采用百分数表示可靠度，如航天产品可靠度要求达到99.99%。美军标(MIL)和国军标(GJB)采用幂函数来表示机电产品的可靠度的增长规律，工程上广泛应用。发电机组与输变电设施的主要可靠性评价指标是可用系数，采用百分数来表示，可靠性增长规律通常采用幂函数来表示。对于采用百分数来表示的产品和系统的可靠性，幂函数是表示其可靠性增长的常用数学模型之一。供电系统的供电可靠率和用户停电系数等可靠性评价指标也采用百分数来表示，可以采用幂函数来表示供电系统的可靠性增长模型。根据文献 [23]，可以采用幂函数来表示供电系统的通用可靠性增长模型。供电系统基于幂函数的可靠性增长模型，其特点是数学公式简单，物理意义明确，工程使用方便。对于供电系统的中压用户，假设供电系统可靠性指标R(t)可以表示为时间t的幂函数，提出供电系统通用可靠性增长模型为

$R\left(t\right)=\eta t^{-m}$ (1)

式中：R(t)为第t年的可靠性指标，η为尺度参数，m为增长系数。

2.2. 可靠性增长模型的参数估计

由式(1)可知，时间t和可靠性指标R(t)在双对数坐标纸上具有线性关系。利用最小二乘法可以确定式(1)所示的供电系统通用可靠性增长模型中的待定参数m和η。根据供电系统的可靠性数据的统计值，可得t_i和R(t_i)的n组观测值数据 $\left[t_{\text{1}},R\left(t_{\text{1}}\right)\right],\left[t_{\text{2}},R\left(t_{\text{2}}\right)\right],\left[t_{\text{3}},R\left(t_{\text{3}}\right)\right],\cdots ,\left[t_n,R\left(t_n\right)\right]$ 。令 $x_i=\ln t_i,y_i=\ln R\left(t_i\right)$ ，应用最小二乘法，得出式(1)表示的供电系统通用可靠性增长模型中的待定参数的估计值为

$\hat{m}=-\hat{b}$ (2)

$\hat{\eta }=\exp \left(\hat{a}\right)$ (3)

式中： $\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}$ ， $\hat{b}=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}$ ， $\bar{x}=\frac{1}{2}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_i}$ ， $\bar{y}=\frac{1}{n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{y}_i}$ ， $S_{xx}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_i{}^2-n}{\bar{x}}^2$ ， $S_{xy}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{x}_i{y}_i-n}\bar{x}\bar{y}$ 。

2.3. 可靠性增长模型的验证方法

采用幂函数表示的供电系统可靠性增长模型的待定参数，采用非线性回归法来确定。可靠性增长模型两边取自然对数后，可靠性增长模型简化成线性方程，可以采用最小二乘法来确定可靠性增长模型的待定参数。根据回归分析的学术专著 [24]，回归方程的显著性检验，就是验证所建立的数学模型是否符合实际数据的变化规律。由文献 [24] 知，回归平方和 $S_{回}=b{S}_{xy}$ ，残差平方和 $S_{残}=S_{yy}-b{S}_{xy}$ ，如果检验统计量表达式 $F=\left[S_{回}\times \left(n-2\right)÷S_{残}\right]$ 服从统计学的F分布，就可以判定可靠性增长模型两边取自然对数后线性相关，也就是说可靠性统计数据符合所建立的幂函数可靠性增长模型。根据供电系统的可靠性统计数据，判定供电系统可靠性的变化规律是否符合式(1)所示的通用可靠性增长模型，称为可靠性增长模型的验证方法。基于幂函数可靠性增长模型的验证方法，就是用来检验供电系统可靠性的统计数据在双自然对数坐标纸上是否线性相关。根据文献 [24]，幂函数可靠性增长模型的检验统计量F的计算公式为

$F=\frac{b{S}_{xy}\left(n-2\right)}{S_{yy}-b{S}_{xy}}$ (4)

式中： $S_{yy}={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{y}_i{}^2-n}{\bar{y}}^2$ 。

在可靠性统计中，显著性水平是估计总体参数落在某一区间内，可能犯错误的概率，用α表示。给定显著性水平α，由文献 [25] 查F分布上侧分位数表，有 $F_{\alpha }\left(\text{1,}n-\text{2}\right)$ 。当 $F>F_{\alpha }\left(\text{1},n-\text{2}\right)$ 时，说明建立的幂函数可靠性增长模型显著符合供电可靠性数据的变化规律，不符合的概率很小，因此，接受式(1)作为供电系统可靠性基于幂函数的增长模型；当 $F\le F_{\alpha }\left(\text{1},n-\text{2}\right)$ 时，拒绝式(1)作为供电系统可靠性基于幂函数的增长模型。

3. 供电可靠性基于幂函数的增长模型

3.1. 供电可靠率基于幂函数的增长模型

根据DL/T836-2012《供电系统用户供电可靠性评价规程》 [4]，对供电系统用户可靠性的主要评价指标为供电可靠率R_S1，其计算公式为

$R_{\text{S}1}=1-\frac{t_{\text{AIHC1}}}{t_{\text{PH}}}$ (5)

式中：t_AIHC1为用户平均停电时间，t_PH为计期间小时数。

根据式(1)表示的供电系统的通用可靠性增长模型，建立供电可靠率 $R_{\text{S}}{}_{\text{1}}\left(t\right)$ 基于幂函数的增长模型为

$R_{\text{S}1}\left(t\right)={\eta }_1{t}^{-m_1}$ (6)

式中：m₁为R_S1增长模型的增长参数，η₁为R_S1增长模型的尺度参数。

m₁的物理意义是能够将供电可靠性的增长情况定量表示出来。当m₁ > 0时，表明供电系统的供电可靠率在逐渐减小；当m₁ = 0时，R_S1(t)为常数，表明供电系统的供电可靠率不变；当m₁ < 0时，表明供电系统的供电可靠率在日益增长，当m₁绝对值越大，供电系统的供电可靠率的增长速度就越快。

尺度参数η的物理意义，反映了在供电系统使用初期t = 1时的供电可靠率水平。当t = 1，有R_S1(t) = η₁。

3.2. 用户停电系数基于幂函数的增长模型

供电可靠率的计算公式(5)可以表示为

$R_{\text{S}1}=\frac{t_{\text{PH}}-t_{\text{AIHC1}}}{\left(t_{\text{PH}}-t_{\text{AIHC1}}\right)+t_{\text{AIHC1}}}=\frac{1}{1+{\rho }_{\text{R1}}}$ (7)

式(7)中，ρ_R1称为供电系统的用户停电系数，其计算公式为

${\rho }_{\text{R1}}=\frac{t_{\text{AIHC}1}}{\left(t_{\text{PH}}-t_{\text{AIHC1}}\right)}=\frac{1-R_{\text{S}1}}{R_{\text{S}1}}$ (8)

在供电系统的用户停电系数把ρ_R1的计算公式中，分子t_AIHC1为供电系统用户平均停电时间，分母(t_PH − t_AIHC1)可以理解为供电系统的用户平均供电时间。用户停电系数ρ_R1物理意义，表示供电系统的用户平均停电时间占供电系统平均供电时间的比例，ρ_R1数值越小则表明供电系统用户可靠性越高，ρ_R1呈减小趋势表示供电系统用户可靠性呈增长趋势。

根据式(1)供电系统的同用可靠性增长模型，建立供电系统的用户停电系数ρ_R1(t)基于幂函数的增长模型为

${\rho }_{\text{R}1}\left(t\right)={\beta }_1{t}^{-{\mu }_1}$ (9)

式中：μ₁为ρ_R1增长模型的增长参数，β₁为ρ_R1增长模型的尺度参数。

μ₁的物理意义是能够将供电可靠性的增长情况定量表示出来。当μ₁ < 0时，表明供电系统用户停电系数在逐渐增大，意味着供电可靠率在减小；当μ₁ = 0时，ρ_R1(t)为常数，表明供电系统用户停电系数不变，供电可靠率不变；当μ₁ > 0时，表明供电系统用户停电系数在逐渐减小，供电可靠率在增长，当μ₁值越大，供电系统的供电可靠性的增长速度就越快。

将式(9)代入式(7)，可以得出供电系统用户停电系数为幂函数的供电可靠率 $R_{\text{S}1}\left(t\right)$ 、的计算公式为

$R_{\text{S}1}\left(t\right)=\frac{1}{1+{\beta }_1{t}^{-{\mu }_1}}$ (10)

将t = 1代入式(9)和(10)，可得 ${\rho }_{\text{R}1}\left(1\right)={\beta }_1$ 和 $R_{\text{S1}}\left(1\right)={\left(1+{\beta }_1\right)}^{-1}$ 。

可以看出，尺度参数β₁反映了在可靠性增长初期(t = 1时)，供电系统的用户停电系数 ${\rho }_{\text{R}1}\left(1\right)$ 的基础值；而 ${\left(1+{\beta }_1\right)}^{-1}$ 反映了在可靠性增长初期(t = 1时)，供电系统的供电可靠率 $R_{\text{S1}}\left(1\right)$ 的基础值。

4. 供电可靠率基于幂函数的增长模型的验证

利用全国城市10 kV用户的三年以上(n ≥ 3)的供电可靠性统计数据，就可以确定这段时间供电系统用户供电可靠性增长模型的待定参数和检验统计量F，并验证这几年城市10 kV用户供电可靠性的变化规律是否符合幂函数的可靠性增长模型以及判断用户供电可靠性是否呈增长趋势，为供电系统可靠性目标管理提供依据。文中利用已经公开的1992~2011年全国城市10 kV用户的供电可靠性数据，研究了这段时间全国城市10 kV用户供电可靠性的变化规律，其方法适用于不同电压等级、不同区域电网、不同年份的供电可靠性的分析研究与可靠性目标管理。

4.1. 全国城市10 kV供电可靠率基于幂函数增长模型的验证结果

根据文献 [22] 电力可靠性中心发布的供电可靠性数据，得出1992~2011年全国城市10 kV用户的供电可靠率R_S1的统计结果列于表1。

应用所建立的供电可靠率基于幂函数的增长模型及其验证方法，定量分析表1全国城市10 kV用户的供电可靠率R_S1的变化趋势。1992年至2008年以及1992年至2011年的供电可靠率R_S1增长模型的验证结果列于表2。给定显著性水平α = 0.1，查文献 [25]，n = 17 (年)时，有 $F_{0.\text{1}0}\left(\text{1},n-\text{2}\right)=F_{0.\text{1}0}\left(\text{1},\text{15}\right)=\text{3}.0\text{7}$ ；n = 20 (年)时，有 $F_{0.\text{1}0}\left(\text{1},n-\text{2}\right)=F_{0.\text{1}0}\left(\text{1},\text{18}\right)=\text{3}.0\text{1}$ 。由于F > F_α，表明全国城市10 kV用户的供电可靠率R_S1的变化规律符合式(6)可靠性增长模型。由表2知，m₁ < 0，表明1992年至2011年全国城市10 kV用户供电可靠性率R_S1呈增长趋势。可靠性增长模型的定量分析结果，与表1可靠性统计数据的变化趋势相符合。

4.2. 国家电网城市10 kV供电可靠率基于幂函数增长模型的验证结果

根据文献 [22] 电力可靠性中心发布的供电可靠性数据，得出2005~2012年国家电网公司及其下属区域电网城市10 kV用户的供电可靠率R_S1的统计结果列于表3。

应用文中所建立的供电可靠率基于幂函数的增长模型以及验证方法，定量分析表3中的国家电网公司及其下属区域电网的城市10 kV用户的供电可靠率R_S1的变化趋势。2005年至2010年以及2005年至2012年的供电可靠率R_S1增长模型的验证结果分别列于表4和表5。给定显著性水平α = 0.1，查文献 [25]，n = 6 (年)时，有 $F_{0.\text{1}0}\left(\text{1},n-\text{2}\right)=F_{0.\text{1}0}\left(\text{1},\text{4}\right)=\text{4}.\text{54}$ ；n = 8 (年)时，有 $F_{0.\text{1}0}\left(\text{1},n-\text{2}\right)=F_{0.\text{1}0}\left(\text{1},\text{6}\right)=\text{3}.\text{78}$ 。由于F > F_α，表明国家电网公司及其下属区域电网的城市10 kV用户的供电可靠率R_S1的变化规律符合式(6)可靠性增长模型。由表4和表5知，m₁ < 0，表明2005年至2012年国家电网公司及其下属区域电网的城市10 kV用户的供电可靠率R_S1呈增长趋势。国家电网公司及其下属区域电网的城市10 kV用户供电可靠率R_S1的可靠性增长模型的定量分析结果，与表3可靠性统计数据的变化趋势相符合。

5. 用户停电系数基于幂函数的增长模型的验证

5.1. 全国城市10 kV用户停电系数基于幂函数增长模型的验证结果

依据表1全国城市10 kV供电系统的供电可靠率R_S1的统计结果，根据式(8)计算得出全国城市10 kV供电系统的用户停电系数ρ_R1列于表6。

应用文中建立的供电系统的用户停电系数基于幂函数的增长模型以及验证方法，定量分析表6给出的全国城市10 kV供电系统的用户停电系数ρ_R1的变化趋势。1992年至2008年以及1992年至2011年的供电可靠性指标ρ_R1增长模型的验证结果分别列于表7。给定显著性水平α = 0.1，查文献 [25]，n = 17 (年)，有 $F_{0.\text{1}0}\left(\text{1},n-\text{2}\right)=F_{0.\text{1}0}\left(\text{1},\text{15}\right)=\text{3}.0\text{7}$ ；n = 20 (年)，有 $F_{0.\text{1}0}\left(\text{1},n-\text{2}\right)=F_{0.\text{1}0}\left(\text{1},\text{18}\right)=\text{3}.0\text{1}$ 。由于F > F_α，表明全国城市10 kV供电系统的用户停电系数ρ_R1的变化规律符合式(9)的增长模型。由表7知，μ₁ > 0，表明全国城市10 kV供电系统的用户停电系数呈下降趋势。从表6知，1992年至2011年，我国城市10 kV供电系统的用户停电系数ρ_R1从0.00830下降到0.00080，1992年至2011年全国城市10 kV供电系统的用户停电系数ρ_R1呈下降趋势，表明供电系统的供电可靠率R_S1呈增长趋势。全国城市10 kV用户停电系数基于幂函数的增长模型的定量分析结果，与表6用户停电系数的数据变化规律相符合。

5.2. 国家电网城市10 kV供电系统ρ_R1基于幂函数增长模型的验证结果

依据表3国家电网公司及其下属区域电网城市10 kV供电系统的供电可靠率R_S1的统计结果，根据式(8)计算得出国家电网公司及其下属区域电网城市10 kV用户供电系统的用户停电系数ρ_R1列于表8。

应用供电系统的用户停电系数基于幂函数的增长模型以及验证方法，定量分析表8出的国家电网公司及其下属区域电网的城市10 kV供电系统的用户停电系数ρ_R1的变化趋势。2005年至2010年以及2005年至2012年的供电系统的用户停电系数ρ_R1增长模型的验证结果分别列于表9和表10。给定显著性水平α = 0.1，查文献 [25]，n = 6 (年)，有 $F_{0.\text{1}0}\left(\text{1},n-\text{2}\right)=F_{0.\text{1}0}\left(\text{1},\text{4}\right)=\text{4}.\text{54}$ ；n = 8 (年)，有 $F_{0.\text{1}0}\left(\text{1},n-\text{2}\right)=F_{0.\text{1}0}\left(\text{1},\text{6}\right)=\text{3}.\text{78}$ 。由于F > F_α，表明国家电网公司及其下属区域电网的城市10 kV供电系统的用户停电系数ρ_R1的变化规律符合式(9)增长模型。由表9和表10知，μ₁ > 0，表明2005年至2012年国家电网公司及其下属区域电网的城市10 kV供电系统的用户停电系数ρ_R1呈下降趋势。由表8可知，从2005年至2012年，国家电网公司及其下属区域电网的用户停电系数ρ_R1不断减小，ρ_R1呈下降趋势，表明供电系统的供电可靠率R_S1呈增长趋势。国家电网公司及其下属区域电网的城市10 kV供电系统的用户停电系数ρ_R1的可靠性增长模型定量分析结果，与表8用户停电系数的数据变化规律相符合。

6. 结论

1) 利用供电系统用户供电可靠性基于幂函数的通用可靠性增长模型，构建了供电可靠率与用户停电系数的增长模型，给出了供电系统用户供电可靠性增长模型的验证方法，可以用来定量分析供电系统用户供电可靠性的变化趋势。

2) 全国城市10 kV与国家电网城市10 kV供电可靠率基于幂函数增长模型的定量分析和验证结果，表明1992年至2011年城市10 kV供电系统的供电可靠率变化规律符合文中所建的供电可靠率基于幂函数的可靠性增长模型，1992年至2011年全国城市与2005年至2012年国家电网城市10 kV供电可靠率R_S1呈增长趋势。

3) 全国城市10 kV与国家电网城市10 kV供电系统的用户停电系数ρ_R1的幂函数建模和验证结果，表明1992年至2011年城市10 kV供电系统的用户停电系数变化规律符合基于幂函数的增长模型，1992年至2011年全国城市与2005年至2012年国家电网城市10 kV用户停电系数ρ_R1呈下降趋势、供电可靠率R_S1呈增长趋势。

4) 文中构建的供电可靠率R_S1和用户停电系数ρ_R1分别为幂函数的增长模型，可以表征1992年至2011年全国城市10 kV与2005年至2012年国家电网城市10 kV用户供电可靠性的变化趋势和可靠性增长规律，1992年至2011年全国城市10 kV与2005年至2012年国家电网城市10 kV用户的供电可靠性呈增长趋势。

参考文献

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