1. 引言

约化理论起源于力学发展的早期阶段，是一种古典但历久弥新的理论。由于辛几何与Hamiltonian力学的紧密联系，约化理论在辛几何中也得到了充分的发展，即辛约化理论。在经典辛约化理论中G-等变的矩映射 $J:M\to {\left(LieG\right)}^{\ast }$ 生成Lie群G在辛流形M上的Hamiltonian作用，从而在必要的附加条件下可得到辛约化流形 $M_{red}:=J^{-1}\left(u\right)/G_u$。辛约化理论起源于Arnold [1]，Smale [2]，Meyer [3] 以及Marsden-Weinstein [4] 等著名数学家的相关工作，经半个多世纪的发展，迄今仍是辛几何中的研究热点之一。

本文要考虑的余切群胚辛约化与经典辛约化理论中的两种重要情形，即余切丛辛约化和辛群胚约化，有着密切的联系。具体来说，给定李群胚 ${\rm I}:G\rightrightarrows M$ 以及I-空间N，即给定 $C^{\infty }$ 流形N以及 $G\rightrightarrows M$ 在N上的作用。我们可以证明余切群胚 $T^{\ast }G\rightrightarrows A^{\ast }G$ 是李群胚。若李群胚 $G\rightrightarrows M$ 在N上的作用能被提升为余切群胚 $T^{\ast }G\rightrightarrows A^{\ast }G$ 在余切丛余切群胚 $T^{\ast }N$ 上的辛作用，则由辛约化技巧 [5] 我们可得到新的辛流形，并将证明此约化辛流形辛同胚于某个商流形的余切丛。

2. 余切群胚

首先回顾辛群胚的定义。

定义2.1 [6] 群胚包含两个集合G和M (分别称为群胚和群胚的基)，满射 $\alpha ,\beta :G\to M$ (分别称为源映射和靶映射)，映射 $1:x\mapsto 1_x,M\to G$，定义在 $G\times G$ 的子集 $G_2=\left\{\left(h,g\right)\in G\times G|\alpha \left(h\right)=\beta \left(g\right)\right\}$ 上的乘法 $\left(h,g\right)\mapsto hg$，满足：

1. 对任意 $\left(h,g\right)\in G_2$，有 $\alpha \left(hg\right)=\alpha \left(g\right)$ 且 $\beta \left(hg\right)=\beta \left(h\right)$ ；

2. 对任意 $g,h,k\in G$，有 $\left(gh\right)k=g\left(hk\right)$，其中 $\alpha \left(g\right)=\beta \left(h\right)$ 且 $\alpha \left(h\right)=\beta \left(k\right)$ ；

3. 对任意 $x\in M$， $\alpha \left(1_x\right)=\beta \left(1_x\right)=x$ ；

4. 对任意 $g\in G$，有 $g{1}_{\alpha g}=g,1_{\beta g}g=g$ ；

5. 对任意 $g\in G$，G中存在逆元 $g^{-1}$，满足 $\alpha \left(g^{-1}\right)=\beta \left(g\right)$， $\beta \left(g^{-1}\right)=\alpha \left(g\right)$， $g^{-1}g=1_{\alpha g}$， $g{g}^{-1}=1_{\beta g}$。

定义2.2 [6] 一个群胚 $G\rightrightarrows M$ 称为李群胚，如果G和M都是微分流形， $\alpha ,\beta$ 都是浸没，并且乘法运算均为流形间的光滑映射。

定义2.3 [6] 令 $G\rightrightarrows M$ 是一个李群胚，若在G上有辛结构 $\Omega$，使得乘法图像 $u=\left\{\left(x,y,xy\right)\in G\times G\times G|\left(x,y\right)\in G_2\right\}$ 是乘积辛流形 $\left(G,\Omega \right)\times \left(G,\Omega \right)\times \left(G,-\Omega \right)$ 的拉格朗日子流形，则称 $G\rightrightarrows M$ 为辛群胚。

引理2.1 [7] 设X为 $C^{\infty }$ 流形，S为X的子流形，则余法丛 $N^{\ast }S$ 是余切丛 $\left(T^{\ast }X,w_{can}\right)$ 的拉格朗日子流形，其中 $w_{can}$ 为余切丛 $T^{\ast }X$ 的典范辛形式。

给定李群胚 $G\rightrightarrows M$，以 $T^{\alpha }G\to G$ 表示由切映射 $T\left(\alpha \right):TG\to TM$ 诱导的向量丛，以 $1:M\to G$， $m\mapsto 1_m$ 表示单位映射。定义向量丛 $AG\to M$ 为 $T^{\alpha }G\to G$ 在 $C^{\infty }$ 映射 $1:M\to G$ 下的拉回丛，从而对 $\forall x\in M$，纤维 $A_{x}G=\ker T_{1_x}\left(\alpha \right)=T_{1_x}{\alpha }^{-1}\left(x\right)\subset T_{1_x}G$。

定义结构映射 $\alpha ,\beta$，乘积映射 $·$，单位映射 $\tilde{1}$，以及逆映射如下：

① 定义 $\tilde{\alpha }:T^{\ast }G\to A^{\ast }G,\varphi \mapsto \tilde{\alpha }\left(\varphi \right)$，使得对 $\forall X\in A_{\alpha g}G$，有 $\langle \tilde{\alpha }\left(\varphi \right),X\rangle =\langle \varphi ,T\left(L_g\right)\left(X-T\left(1\right)aX\right)\rangle$。其中 $a=a_G:AG\to TM$ 为向量丛间的丛映射使得对 $\forall x\in M$， $a_x:A_{x}G\to T_{x}M$， $X\mapsto d\beta |{}_{1_x}\left(X\right)$，这里

$X\in T_{1_x}G$ 满足 ${d\alpha |}_{{}_{1_x}}\left(X\right)=0$。

② 定义 $\tilde{\beta }:T^{\ast }G\to A^{\ast }G,\varphi \mapsto \tilde{\beta }\left(\varphi \right)$，使得对 $\forall Y\in A_{\beta g}G$，有 $\langle \tilde{\beta }\left(\varphi \right),Y\rangle =\langle \varphi ,T\left(R_g\right)Y\rangle$。

③ 定义乘法运算 $·:T^{\ast }G\times T^{\ast }G\to T^{\ast }G$， $\left(\varphi ,\psi \right)\mapsto \varphi ·\psi$。其中 $\varphi \in T_g^{\ast }G,\psi \in T_h^{\ast }G$ 满足 $\tilde{\alpha }\left(\varphi \right)=\tilde{\beta }\left(\psi \right)$。这里 $X\in T_{g}G$ 和 $Y\in T_{h}G$ 满足 $T\left(\alpha \right)X=T\left(\beta \right)Y$ 使得 $\langle \varphi ·\psi ,X·Y\rangle =\langle \varphi ,X\rangle +\langle \psi ,Y\rangle$。

④ 定义单位映射 $\tilde{1}:A^{\ast }G\to T^{\ast }G$，使得对 $\forall \phi \in A_m^{\ast }G,\xi \in T_{1m}G$，有 $\langle {\tilde{1}}_{\phi },\xi \rangle =\langle \phi ,\xi -T\left(1\right)T\left(\alpha \right)\xi \rangle$。

⑤ 定义逆运算： $T^{\ast }G\to T^{\ast }G,\varphi \mapsto {\varphi }^{-1}$。使得对 $\forall X\in T_{g}G$ 有 $\langle {\varphi }^{-1},X^{-1}\rangle =-\langle \varphi ,X\rangle$ (其中

$\varphi \in T_g^{\ast }G,X^{-1}\in T_{g^{-1}}G$ 为X在逆运算 $G\to G$ 的诱导切映射 $T_{g}G\to T_{g^{-1}}G$ 下的像)。

定理2.1 给定李群胚 $G\rightrightarrows M$，在上述定义的映射下， $T^{\ast }G\rightrightarrows A^{\ast }G$ 为辛群胚。称 $T^{\ast }G\rightrightarrows A^{\ast }G$ 为余切群胚。

证明：(1) 验证群胚结构：

① 任取 $\varphi \in T_g^{\ast }G,\psi \in T_h^{\ast }G$，使得 $\tilde{\alpha }\left(\varphi \right)=\tilde{\beta }\left(\psi \right)$，则 $\varphi ·\psi \in T_{gh}^{\ast }G$。需说明 $\tilde{\alpha }\left(\varphi ·\psi \right)=\tilde{\alpha }\left(\psi \right)$， $\tilde{\beta }\left(\varphi ·\psi \right)=\tilde{\beta }\left(\varphi \right)$。

事实上， $\forall X\in A_{\alpha \left(gh\right)}G=A_{\alpha \left(h\right)}G$，有

$\begin{array}{c}\langle \tilde{\alpha }\left(\varphi ·\psi \right),X\rangle \\ =\langle \varphi ·\psi ,T\left(L_{gh}\right)\left(X-T\left(1\right)aX\right)\rangle =\langle \varphi ·\psi ,0·T\left(L_h\right)\left(X-T\left(1\right)aX\right)\rangle \\ =\langle \varphi ,0\rangle +\langle \psi ,T\left(L_h\right)\left(X-T\left(1\right)aX\right)\rangle =\langle \tilde{\alpha }\left(\psi \right),X\rangle \end{array}$

从而 $\tilde{\alpha }\left(\varphi ·\psi \right)=\tilde{\alpha }\left(\psi \right)$。

$\forall Y\in A_{\beta \left(gh\right)}G=A_{\beta \left(g\right)}G$，有

$\begin{array}{c}\langle \tilde{\beta }\left(\varphi ·\psi \right),Y\rangle =\langle \varphi ·\psi ,T\left(R_{gh}\right)\left(Y\right)\rangle =\langle \varphi ·\psi ,T\left(R_g\right)\left(Y\right)·0\rangle \\ =\langle \varphi ,T\left(R_g\right)\left(Y\right)\rangle +\langle \psi ,0\rangle =\langle \tilde{\beta }\left(\varphi \right),Y\rangle \end{array}$，

从而 $\tilde{\beta }\left(\varphi ·\psi \right)=\tilde{\beta }\left(\varphi \right)$。

② 任取 ${\varphi }_1\in T_f^{\ast }G,{\varphi }_2\in T_g^{\ast }G,{\varphi }_3\in T_h^{\ast }G$，且满足 $\tilde{\alpha }\left({\varphi }_1\right)=\tilde{\beta }\left({\varphi }_2\right),\tilde{\alpha }\left({\varphi }_2\right)=\tilde{\beta }\left({\varphi }_3\right)$。需说明 ${\varphi }_1·\left({\varphi }_2·{\varphi }_3\right)=\left({\varphi }_1·{\varphi }_2\right)·{\varphi }_3$。

任取 $X_1\in T_{f}G,X_2\in T_{g}G,X_3\in T_{h}G$，且满足 $T\left(\alpha \right)X_1=T\left(\beta \right)X_2,T\left(\alpha \right)X_2=T\left(\beta \right)X_3$。从而 $T\left(\alpha \right)X_1=T\left(\beta \right)\left(X_2·X_3\right),T\left(\alpha \right)\left(X_1·X_2\right)=T\left(\beta \right)X_3$，从而 $X_1·\left(X_2·X_3\right)=\left(X_1·X_2\right)·X_3$。从而 ${\varphi }_1·\left({\varphi }_2·{\varphi }_3\right)=\left({\varphi }_1·{\varphi }_2\right)·{\varphi }_3$。

③ 任取 $\phi \in A_m^{\ast }G$，需说明 $\tilde{\alpha }\left(1_{\phi }\right)=\tilde{\beta }\left(1_{\phi }\right)=\phi$。

任取 $X\in A_{m}G\subseteq T_{1m}G$，则有

$\begin{array}{c}\langle \tilde{\alpha }\left({\tilde{1}}_{\phi }\right),X\rangle =\langle {\tilde{1}}_{\phi },T\left(L_{1m}\right)\left(X-T\left(1\right)aX\right)\rangle =\langle {\tilde{1}}_{\phi },\left(X-T\left(1\right)aX\right)\rangle \\ =\langle \phi ,\left(X-T\left(1\right)aX\right)-T\left(1\right)T\left(\alpha \right)\left(X-T\left(1\right)aX\right)\rangle \\ =\langle \phi ,X\rangle \end{array}$。

另外， $\langle \tilde{\beta }\left({\tilde{1}}_{\phi }\right),X\rangle =\langle {\tilde{1}}_{\phi },T\left(R_{1m}\right)\left(X\right)\rangle =\langle {\tilde{1}}_{\phi },X\rangle =\langle \phi ,X-T\left(1\right)T\left(\alpha \right)X\rangle =\langle \phi ,X\rangle$。

④ 任取 $\varphi \in T_g^{\ast }G$，需说明 $\varphi ·{\tilde{1}}_{\tilde{\alpha }\left(\varphi \right)}=\varphi$， ${\tilde{1}}_{\tilde{\beta }\left(\varphi \right)}·\varphi =\varphi$。

任取 $X\in T_{g}G,Y\in T_{1\alpha g}G$ 满足 $T\left(\alpha \right)X=T\left(\beta \right)Y$，

$\begin{array}{c}\langle \varphi ·{\tilde{1}}_{\tilde{\alpha }\left(\varphi \right)},X·Y\rangle =\langle \varphi ,X\rangle +\langle {\tilde{1}}_{\tilde{\alpha }\left(\varphi \right)},Y\rangle =\langle \varphi ,X\rangle +\langle \tilde{\alpha }\left(\varphi \right),Y-T\left(1\right)T\left(\alpha \right)Y\rangle \\ =\langle \varphi ,X\rangle +\langle \varphi ,T\left(L_g\right)\left[\left(Y-T\left(1\right)T\left(\alpha \right)Y\right)-T\left(1\right)a\left(Y-T\left(1\right)T\left(\alpha \right)Y\right)\right]\rangle \\ =\langle \varphi ,X\rangle +\langle \varphi ,T\left(L_g\right)\left[\left(Y-T\left(1\right)T\left(\alpha \right)Y\right)-T\left(1\right)T\left(\beta \right)\left(Y-T\left(1\right)T\left(\alpha \right)Y\right)\right]\rangle \\ =\langle \varphi ,X\rangle +\langle \varphi ,T\left(L_g\right)\left(Y-T\left(1\right)T\left(\beta \right)Y\right)\rangle \\ =\langle \varphi ,X+T\left(L_g\right)\left(Y-T\left(1\right)T\left(\beta \right)Y\right)\rangle =\langle \varphi ,X·Y\rangle \end{array}$

任取 $X\in T_{g}G,Z\in T_{1_{\beta g}}G$ 满足 $T\left(\alpha \right)Z=T\left(\beta \right)X$，

$\begin{array}{c}\langle {\tilde{1}}_{\tilde{\beta }\left(\varphi \right)}·\varphi ,Z·X\rangle =\langle {\tilde{1}}_{\tilde{\beta }\left(\varphi \right)},Z\rangle +\langle \varphi ,X\rangle =\langle \tilde{\beta }\left(\varphi \right),Z-T\left(1\right)T\left(\alpha \right)Z\rangle +\langle \varphi ,X\rangle \\ =\langle \varphi ,T\left(R_g\right)\left(Z-T\left(1\right)T\left(\alpha \right)Z\right)\rangle +\langle \varphi ,X\rangle \\ =\langle \varphi ,T\left(R_g\right)\left(Z-T\left(1\right)T\left(\alpha \right)Z\right)+X\rangle =\langle \varphi ,Z·X\rangle \end{array}$

⑤ 任取 $\varphi \in T_g^{\ast }G$，需说明 $\tilde{\alpha }\left({\varphi }^{-1}\right)=\tilde{\beta }\left(\varphi \right)$， $\tilde{\beta }\left({\varphi }^{-1}\right)=\tilde{\alpha }\left(\varphi \right)$， $\varphi ·{\varphi }^{-1}={\tilde{1}}_{\tilde{\beta }\left(\varphi \right)}$， ${\varphi }^{-1}·\varphi ={\tilde{1}}_{\tilde{\alpha }\left(\varphi \right)}$。

任取 $X\in A_{\alpha g^{-1}}G=A_{\beta g}G$，则

$\begin{array}{c}\langle \tilde{\alpha }\left({\varphi }^{-1}\right),X\rangle =\langle {\varphi }^{-1},T\left(L_{g^{-1}}\right)\left(X-T\left(1\right)aX\right)\rangle =\langle {\varphi }^{-1},T\left(L_{g^{-1}}\right)\left(-T\left(i\right)X\right)\rangle \\ =\langle {\varphi }^{-1},-T\left(i\right)T\left(R_g\right)X\rangle =\langle \varphi ,T\left(R_g\right)X\rangle =\langle \tilde{\beta }\left(\varphi \right),X\rangle \end{array}$。

同理可证 $\tilde{\beta }\left({\varphi }^{-1}\right)=\tilde{\alpha }\left(\varphi \right)$。

任取 $X\in T_{g}G,Y\in T_{g^{-1}}G$ 满足 $T\left(\alpha \right)X=T\left(\beta \right)Y$， $X·Y\in T_{1_{\beta g}}G$。注意到 $T_{1\beta g}G$ 中的元素均可唯一表示

为 $T\left(1\right)\left(w\right)+W$，其中 $w\in T_{\beta g}M,W\in A_{\beta g}G$。

由于 $w=T\left(\alpha \right)X=T\left(\beta \right)Y$，从而 $T\left(1\right)w=T\left(1\right)T\left(\beta \right)Y=Y·Y^{-1}$。从而

$\langle \varphi ·{\varphi }^{-1},T\left(1\right)w\rangle =\langle \varphi ·{\varphi }^{-1},Y·Y^{-1}\rangle =\langle \varphi ,Y\rangle +\langle {\varphi }^{-1},Y^{-1}\rangle =\langle \varphi ,Y\rangle -\langle \varphi ,Y\rangle =0$。

$\langle {\tilde{1}}_{\tilde{\beta }\left(\varphi \right)},T\left(1\right)w\rangle =\langle {\tilde{1}}_{\tilde{\beta }\left(\varphi \right)},T\left(1\right)T\left(\alpha \right)X\rangle =0$，故 $\langle \varphi ·{\varphi }^{-1},T\left(1\right)w\rangle =\langle {\tilde{1}}_{\tilde{\beta }\left(\varphi \right)},T\left(1\right)w\rangle$。

以 ${\tilde{0}}_{g^{-1}}\in T_{g^{-1}}G$ 为切空间 $T_{g^{-1}}G$ 中的零向量，则

$W=\left(T\left(R_g\right)W\right)·{\tilde{0}}_{g^{-1}}$，(*)

若上式成立，则

$\langle \varphi ·{\varphi }^{-1},W\rangle =\langle \varphi ·{\varphi }^{-1},\left(T\left(R_g\right)\right)W·{\tilde{0}}_{g^{-1}}\rangle =\langle \varphi ,\left(T\left(R_g\right)\right)W\rangle +\langle {\varphi }^{-1},{\tilde{0}}_{g^{-1}}\rangle =\langle \varphi ,T\left(R_g\right)W\rangle =\langle \tilde{\beta }\left(\varphi \right),W\rangle =\langle 1_{\tilde{\beta }\left(\varphi \right)},W\rangle$。

从而 $\varphi ·{\varphi }^{-1}={\tilde{1}}_{\tilde{\beta }\left(\varphi \right)}$。同理可证 ${\varphi }^{-1}·\varphi ={\tilde{1}}_{\tilde{\alpha }\left(\varphi \right)}$。

注：由于 $W\in A_{y}G$，从而可取 $C^{\infty }$ 曲线 $\gamma :\left(-\epsilon ,\epsilon \right)\to G,\epsilon >0$ 充分小使得 $\forall t\in \left(-\epsilon ,\epsilon \right)$ 有

$\gamma \left(0\right)=1_y,\alpha \left(\gamma \left(t\right)\right)=y$ 且 ${\frac{\text{d}}{\text{d}t}|}_{t=0}\gamma \left(t\right)=W$。从而 $T\left(R_g\right)W={\frac{\text{d}}{\text{d}t}|}_{t=0}{R}_g\left(\gamma \left(t\right)\right)={\frac{\text{d}}{\text{d}t}|}_{t=0}\gamma \left(t\right)g$ 从而

$T\left(R_g\right)W·{\tilde{0}}_{g^{-1}}={\frac{\text{d}}{\text{d}t}|}_{t=0}k\left(\gamma \left(t\right)g,g^{-1}\right)={\frac{\text{d}}{\text{d}t}|}_{t=0}\gamma \left(t\right)=W$。

(2) 证明 $G=\left\{\left(g,\varphi \right),\left(h,\psi \right),\left(gh,\varphi ·\psi \right)\in T^{\ast }G\times T^{\ast }G\times T^{\ast }G|\tilde{\alpha }\left(\varphi \right)=\tilde{\beta }\left(\psi \right)\right\}$ 是辛流形 $\left(T^{\ast }G,w_0\right)\times \left(T^{\ast }G,w_0\right)\times \left(T^{\ast }G,-w_0\right)$ 的拉格朗日子流形，则 $T^{\ast }G\rightrightarrows A^{\ast }G$ 为辛群胚。

由于 $G\rightrightarrows M$ 为李群胚，从而 $S=\left\{\left(g,h,gh\right)\in G\times G\times G|\alpha \left(g\right)=\beta \left(h\right)\right\}$ 是 $G\times G\times G$ 的光滑子流形，由引理1可知，余法丛 $N^{\ast }S$ 是 $\left(T^{\ast }G,w_{can}\right)\times \left(T^{\ast }G,w_{can}\right)\times \left(T^{\ast }G,w_{can}\right)$ 的拉格朗日子流形。任取 $\left(g,h,gh\right)\in S$，则余法丛 $N^{\ast }S$ 的纤维为

$\left\{\left(\varphi ,\psi ,-\varphi ·\psi \right)\in T_g^{\ast }G\times T_h^{\ast }G\times T_{gh}^{\ast }G|\tilde{\alpha }\left(\varphi \right)=\tilde{\beta }\left(\psi \right)\right\}$，

此纤维同构于 $\left\{\left(\varphi ,\psi ,\varphi ·\psi \right)\in T_g^{\ast }G\times T_h^{\ast }G\times T_{gh}^{\ast }G|\tilde{\alpha }\left(\varphi \right)=\tilde{\beta }\left(\psi \right)\right\}$。得证。

3. 主要结果及证明

令 $G\rightrightarrows M$ 是一个李群胚，N是一个 $C^{\infty }$ 流形，并且 $J:N\to M$ 是 $C^{\infty }$ 映射。

定义3.1 [8] 李群胚G在流形N上的带有矩映射J的作用是一个 $C^{\infty }$ 映射 $\sigma :G{\times }_{J}N\to N$， $\left(g,n\right)\mapsto gn$，其中 $\alpha \left(g\right)=J\left(n\right)$，满足以下条件：

(1) $J\left(gn\right)=\beta \left(g\right)$ ；

(2) $\left(gh\right)n=g\left(hn\right)$ ；

(3) $1\left(J\left(n\right)\right)n=n$。

定义3.2 [8] 设 $\sigma :G{\times }_{J}N\to N$ 是李群胚G在辛流形N上的作用，如果 $G\rightrightarrows M$ 是辛群胚，并且作用的图像 $u=\left\{\left(g,m,gm\right)\in G\times N\times N|\alpha \left(g\right)=J\left(m\right)\right\}$ 是乘积辛流形 $G\times N\times \bar{N}$ 的拉格朗日子流形，则称 $\sigma$ 为辛群胚作用。其中 $\bar{N}$ 表示辛流形 $\left(N,-\Omega \right)$。

定理3.1 [8] 令 $\left(M,J\right)$ 为辛 $\Gamma$ -空间，如果u是J的clean值， $J^{-1}\left(u\right)/{\Gamma }_u$ 为光滑流形使得投射 $h_u:J^{-1}\left(u\right)\to J^{-1}\left(u\right)/{\Gamma }_u$ 为浸没映射。那么在 $J^{-1}\left(u\right)/{\Gamma }_u$ 上存在一个辛结构 ${\Omega }_u$ 使得 $h_u^{\ast }{\Omega }_u=l_u^{\ast }{w}_M$，其中 $l_u$ 是 $J^{-1}\left(u\right)$ 到M的包含映射。这里称u为J的clean值，是指 $J^{-1}\left(u\right)$ 为u的 $C^{\infty }$ 子流形，并且对 $\forall m\in J^{-1}\left(u\right)$ 有 $T_m{J}^{-1}\left(u\right)=\ker T_{m}J$。

下面开始考虑余切群胚在余切丛上的辛作用，并具体描述辛约化过程。具体来说，假设李群胚 $G\rightrightarrows M$ 光滑作用在流形N上，且有矩映射 $J:N\to M$。定义映射 $J^{\ast }:T^{\ast }N\to A^{\ast }G$ 如下：任取 $\left(q,{\varphi }_q\right)\in T^{\ast }N$，定

义 $J_q^{\ast }{\varphi }_q\in {\left(A^{\ast }G\right)}_{J\left(q\right)}$ 使得对 $\forall X\in {\left(AG\right)}_{J\left(q\right)}=T_{1_{J\left(q\right)}}{\alpha }^{-1}\left(J\left(q\right)\right)$ 有 $\langle J_q^{\ast }{\varphi }_q,X\rangle =\langle {\varphi }_q,X^{\#}\left(q\right)\rangle$ (其中 $X^{\#}\left(q\right)\in T_{J\left(q\right)}N$ 为由X诱导的切向量：任取 ${\alpha }^{-1}\left(J\left(q\right)\right)\subset G$ 中通过 $1_{J\left(q\right)}$ 的 $C^{\infty }$ 曲线 $\gamma :\left(-\epsilon ,\epsilon \right)\to {\alpha }^{-1}\left(J\left(q\right)\right)$， $\gamma \left(0\right)=1_{J\left(q\right)}$ 使得 ${\frac{\text{d}\gamma \left(t\right)}{\text{d}t}|}_{t=0}=X$，则 $X^{\#}\left(q\right):={\frac{\text{d}}{\text{d}t}|}_{t=0}\gamma \left(t\right)q\in T_{q}N$ )。定义 $J^{\ast }:T^{\ast }N\to A^{\ast }G$， $\left(q,{\varphi }_q\right)\mapsto \left(J\left(q\right),J_q^{\ast }{\varphi }_q\right)$，显然 $J^{\ast }$ 是光滑的丛映射且使得图表 $\begin{array}{l}{T}^{\ast }N\to A^{\ast }G\\ {}_{{\pi }_N}\downarrow {\downarrow }_{{\pi }_M}\\ N\to M\end{array}$ 可交换，其中 ${\pi }_N,{\pi }_M$ 均为丛投影映射。

定理3.2假设余切群胚 $T^{\ast }G\rightrightarrows A^{\ast }G$ 辛作用在余切丛上 $T^{\ast }N$ 上，且以 $J^{\ast }:T^{\ast }N\to A^{\ast }G$ 为矩映射。假设

$0_m\in A^{\ast }G$ 为clean值使得 ${\left(J^{\ast }\right)}^{-1}\left(0_m\right)/G_m$ 为 $C^{\infty }$ 流形，且 ${\pi }_0:{\left(J^{\ast }\right)}^{-1}\left(0_m\right)\to {\left(J^{\ast }\right)}^{-1}\left(0_m\right)/G_m$ 为浸没映射，假

设m为clean值使得 ${\left(J\right)}^{-1}\left(m\right)/G_m$ 为 $C^{\infty }$ 流形，且 ${\pi }_J:J^{-1}\left(m\right)\to J^{-1}\left(m\right)/G_m$ 为浸没映射，则约化辛流形

${\left(J^{\ast }\right)}^{-1}\left(0_m\right)/G_m$ 辛微分同胚于余切丛 $T^{\ast }\left(J^{-1}\left(m\right)/G_m\right)$。

证明：定义光滑映射 ${\bar{\phi }}_0:{\left(J^{\ast }\right)}^{-1}\left(0_m\right)\to T^{\ast }\left(J^{-1}\left(m\right)/G_m\right)$ 使得对 $\forall v_q\in T_q{J}^{-1}\left(m\right)\in T_{q}N$ 有 $\langle {\bar{\phi }}_0\left({\varphi }_q\right),T_q{\pi }_J\left(v_q\right)\rangle :=\langle {\varphi }_q,v_q\rangle$。下面说明与 $v_q$ 的选取无关，如果 $v_q,{v^{\prime }}_q\in T_q{J}^{-1}\left(m\right)$ 使得 $T_q{\pi }_J\left(v_q\right)=T_q{\pi }_J\left({v^{\prime }}_q\right)$，则 ${v^{\prime }}_q-v_q=\ker T{\pi }_J\left(q\right)=T_q{\pi }_J^{-1}\left(\left[q\right]\right)$，因此 ${v^{\prime }}_q-v_q={\xi }_{G_m}^{\#}\left(q\right)$，其中 ${\xi }_{G_m}\in Lie\left(G_m\right)$。从而 $\langle {\varphi }_q,{v^{\prime }}_q-v_q\rangle =\langle {\varphi }_q,{\xi }_{G_m}^{\#}\left(q\right)\rangle =0$，即 $\langle {\varphi }_q,{v^{\prime }}_q\rangle =\langle {\varphi }_q,v_q\rangle$。

下面说明 ${\bar{\phi }}_0$ 是 $G_m$ -不变的。对于任意 $g\in G_m,v_q\in T_{q}N$ 有 $T_{g\cdot q}{\pi }_J\left(g\cdot v_q\right)=T_q{\pi }_J\left(v_q\right)$，从而

$\langle {\bar{\phi }}_0\left(g\cdot {\varphi }_q\right),T_q{\pi }_J\left(v_q\right)\rangle =\langle {\bar{\phi }}_0\left(g\cdot {\varphi }_q\right),T_{g\cdot q}{\pi }_J\left(g\cdot v_q\right)\rangle =\langle g\cdot {\varphi }_q,g\cdot v_q\rangle =\langle {\varphi }_q,v_q\rangle =\langle {\bar{\phi }}_0\left({\varphi }_q\right),T_q{\pi }_J\left(v_q\right)\rangle$，所以对于

任意 $g\in G_m$ 及任意 ${\varphi }_q\in {\left(J^{\ast }\right)}^{-1}\left({\xi }^{\ast }\right)$，有 ${\bar{\phi }}_0\left(g\cdot {\varphi }_q\right)={\bar{\phi }}_0\left({\varphi }_q\right)$。

下面说明 ${\bar{\phi }}_0$ 是满射。如果 ${\Gamma }_{\left[q\right]}\in T_{\left[q\right]}^{\ast }\left(J^{-1}\left(m\right)/G_m\right)$，其中 $\left[q\right]:={\pi }_J\left(q\right)$。我们定义 ${\varphi }_q\in {\left(J^{\ast }\right)}^{-1}\left(0_m\right)$ 使得

$\langle {\varphi }_q,v_q\rangle :=\langle {\Gamma }_{\left[q\right]},T_q{\pi }_J\left(v_q\right)\rangle$，那么 ${\bar{\phi }}_0\left({\varphi }_q\right)={\Gamma }_{\left[q\right]}$。

从而 ${\bar{\phi }}_0$ 诱导 $C^{\infty }$ 满射 ${\phi }_0:{\left(J^{\ast }\right)}^{-1}\left(0_m\right)/G_m\to J^{-1}\left(m\right)/G_m$，满足 ${\phi }_0\circ {\pi }_0={\bar{\phi }}_0$ (其中

${\pi }_0:{\left(J^{\ast }\right)}^{-1}\left(0_m\right)\to {\left(J^{\ast }\right)}^{-1}\left(0_m\right)/G_m$ )。

下面说明 ${\phi }_0$ 是单射。取 ${\varphi }_q,{{\varphi }^{\prime }}_q\in {\left(J^{\ast }\right)}^{-1}\left({\xi }^{\ast }\right)$ 满足 ${\bar{\phi }}_0\left({\varphi }_q\right)={\phi }_0\left({\pi }_0\left({\varphi }_q\right)\right)={\phi }_0\left({\pi }_0\left({{\varphi }^{\prime }}_q\right)\right)={\bar{\phi }}_0\left({{\varphi }^{\prime }}_q\right)$。从而有

$g\in G_m$ 使得 $q\prime =g\cdot q$。因为 $J^{\ast }\left(g\cdot {\varphi }_q\right)=A{d}_{g^{-1}}^{\ast }{J}^{\ast }\left({\varphi }_q\right)=0$ 可知 $g\cdot {\alpha }_q,{\alpha }_{q\prime }\in {\left(J^{\ast }\right)}^{-1}\left(0_m\right)\cap T_{q\prime }^{\ast }N$。由于 ${\phi }_0$ 是 $G_m$ -

不变的，则 ${\bar{\phi }}_0\left(g\cdot {\varphi }_q\right)={\bar{\phi }}_0\left({\varphi }_{q\prime }\right)$，即对于任意 $v_{q\prime }\in T_{q\prime }N$ 有 $\langle g\cdot {\varphi }_q,v_{q\prime }\rangle =\langle {\varphi }_{q\prime },v_{q\prime }\rangle$。因此 ${\varphi }_{q\prime }=g\cdot {\varphi }_q$，从而 ${\pi }_0\left({\varphi }_{q\prime }\right)={\pi }_0\left({\varphi }_q\right)$。

下面说明 ${\phi }_0$ 是辛映射。令 ${\theta }_{can}$ 为 $T^{\ast }\left(J^{-1}\left(m\right)/G_m\right)$ 的典范1-形式， ${\Theta }_{can}$ 为 $T^{\ast }{J}^{-1}\left(m\right)$ 的典范1-形式， $i_0:{\left(J^{\ast }\right)}^{-1}\left(0_m\right)\to T^{\ast }{J}^{-1}\left(m\right)$ 为包含映射， ${\pi }_0:{\left(J^{\ast }\right)}^{-1}\left(0_m\right)\to {\left(J^{\ast }\right)}^{-1}\left(0_m\right)/G_m$ 为商投影。

${\pi }_{J^{-1}\left(m\right)/G_m}:T^{\ast }\left(J^{-1}\left(m\right)/G_m\right)\to J^{-1}\left(m\right)/G_m$ 为余切丛投影，显然有 ${\pi }_{J^{-1}\left(m\right)/G_m}\circ {\bar{\phi }}_0={\pi }_J\circ {\pi }_{J^{-1}\left(m\right)}\circ i_0$。取

${\varphi }_q\in {\left(J^{\ast }\right)}^{-1}\left(0_m\right),v\in T_{{\varphi }_q}{\left(J^{\ast }\right)}^{-1}\left(0_m\right)$，则

$\begin{array}{c}\langle \left({\pi }_0^{\ast }{\phi }_0^{\ast }{\theta }_{can}\right)\left({\varphi }_q\right),v\rangle =\langle \left({\bar{\phi }}_0^{\ast }{\theta }_{can}\right){\varphi }_q,v\rangle =\langle {\theta }_{can}\left({\bar{\phi }}_0\left({\varphi }_q\right)\right),T_{{\varphi }_q}{\bar{\phi }}_0\left(v\right)\rangle \\ =\langle {\bar{\phi }}_0\left({\varphi }_q\right),T_{{\bar{\phi }}_0\left({\varphi }_q\right)}{\pi }_{{\left(J^{\ast }\right)}^{-1}\left(0_m\right)}\left(T_{{\varphi }_q}{\bar{\phi }}_0\left(v\right)\right)\rangle \\ =\langle {\bar{\phi }}_0\left({\varphi }_q\right),T_{{\varphi }_q}\left({\pi }_{{\left(J^{\ast }\right)}^{-1}\left(0_m\right)}\circ {\bar{\phi }}_0\right)\left(v\right)\rangle \\ =\langle {\bar{\phi }}_0\left({\varphi }_q\right),T_{{\varphi }_q}\left({\pi }_J\circ {\pi }_{J^{-1}\left(m\right)}\circ i_0\right)\left(v\right)\rangle \\ =\langle {\bar{\phi }}_0\left({\varphi }_q\right),T_q{\pi }_J\left(T_{{\varphi }_q}{\pi }_{J^{-1}\left(m\right)}\left(v\right)\right)\rangle \\ =\langle {\varphi }_q,T_{{\varphi }_q}{\pi }_{J^{-1}\left(m\right)}\left(v\right)\rangle =\langle i_0^{\ast }\Theta \left({\varphi }_q\right),v\rangle \end{array}$

故 ${\pi }_0^{\ast }{\phi }_0^{\ast }{\theta }_{can}=i_0^{\ast }{\Theta }_{can}$。因此 ${\pi }_0^{\ast }{\phi }_0^{\ast }{w}_{can}=i_0^{\ast }{\Omega }_{can}$，其中 $w_{can},{\Omega }_{can}$ 分别为 $T^{\ast }\left(J^{-1}\left(m\right)/G_m\right),T^{\ast }\left(J^{-1}\left(m\right)\right)$ 的典范辛形式。由辛约化定理可知， ${\phi }_0^{\ast }{w}_{can}={\Omega }_0$，其中 ${\Omega }_0$ 为 ${\left(J^{\ast }\right)}^{-1}\left(0_m\right)/G_m$ 的约化辛形式。

因此 ${\phi }_0:{\left(J^{\ast }\right)}^{-1}\left(0_m\right)/G_m\to T^{\ast }\left(J^{-1}\left(m\right)/G_m\right)$ 为光滑辛双射。因为辛映射为浸入映射，故 ${\phi }_0$ 为浸入映射。由维数比较有

$\dim {\left(J^{\ast }\right)}^{-1}\left(0_m\right)/G_m=2\dim J^{-1}\left(m\right)-2\dim G_m=\dim T^{\ast }\left(J^{-1}\left(m\right)/G_m\right)$，

故 ${\phi }_0$ 为局部微分同胚映射。又由于 ${\phi }_0$ 为双射，从而 ${\phi }_0$ 为微分同胚映射。

参考文献