1. 引言
将二次型理论和Rayleigh商从有限维推广至无穷维复Hilbert空间所得到的集合称为数值域:设H是
上的Hilbert空间,线性算子A的数值域
定义为
从学术研究角度来讲,线性算子数值域的研究涉及到纯理论和应用科学的诸多分支,诸如泛函分析、数值分析及量子物理等;此外,关于线性算子数值域的研究方法也十分丰富,包括代数、分析、编程等。因此,线性算子数值域及其相关问题的研究受到了诸多学者的广泛关注。
线性算子数值域的可加性
是数值域理论中较为活跃的研究课题,对于Hilbert空间中线性算子A,B而言,通过A,B的点谱
,
很难刻画
的信息,然而对于线性算子A,B而言,容易证明次可加性成立,即
成立。此时,运用谱包含性质
,可得
。也就是说,如果知道
的信息,则可以刻画
的分布范围,故线性算子数值域可加性具有深刻的研究意义。
下面介绍证明中所用到的一些结论。
命题1 [1] (Toeplitz-Hausdorff) Hilbert空间中线性算子A的数值域
是凸集。
设
为
的复矩阵空间。通过选取
上的标准内积,数值域可表示为
再由Toeplitz-Hausdorff定理可知
是
上的紧凸集。令
,
为任何实向量空间中的两个凸集,那么
,
的和定义为
,显然
也为凸集。由此可见,
也为凸集。
命题2 [1] 令
,那么
(a)
,对于所有
。
(b)
,其中
是酉算子,即
。
(c)
。
(d) 设
有特征值
,
,那么
为以
,
为焦点,以
为短轴长的椭圆。若
,那么椭圆
的短轴长为
。
命题3 [1] 设
是正规矩阵,则存在酉矩阵
使得
其中
是A的n个特征值。
2. 主要结论
定理1 设
是Hermite矩阵,
是A的最小和最大特征值,
是B的最小和最大特征值,那么
当且仅当A的特征空间
与B的特征空间
有非空交集,A的特征空间
与B的特征空间
有非空交集。
证明 先证充分性。假设
为Hermite矩阵A的最小特征值,
为Hermite矩阵B的最小特征值,则对任意的单位向量
有
,
,故有
此式表明
是
特征值的下界。下证
的最小特征值即为
。已知特征空间
与B的特征空间
有非空交集,设单位向量
,则成立
,
,故有
所以
为
的最小特征值,同理可证
为
的最大特征值,而
为Hermite矩阵,故有
又由于
,
均为凸集,则
。由此可得
。
再证必要性。如果
,那么
这表明
和
分别是
的最小和最大特征值,则存在单位向量
使得
,故有
而由
,
可得
,
。因此
是关于A的特征值
与B的特征值
的共同的特征向量,故
,同理可得
。□
定理2 设
是Hermite矩阵,
是反Hermite矩阵,
是A的最小和最大特征值,
是
的最小和最大特征值,那么
当且仅当A的特征空间
和
的每一个特征空间
,
都有非空交集且A的特征空间
和
的每一个特征空间
,
都有非空交集。
证明 先证充分性。因为
是Hermite 矩阵且
,
是
的最小和最大特征值,故
,即
。由于A的特征空间
与
的特征空间
交集非空,则存在单位向量
,使得
,
(即
)成立。将两式相加得
此式表明
为
的特征值。同理可知
,
,
均为
的特征值,而
一定包含此四个特征值的凸包,即
又由于
,
均为凸集,则
,即
,再结合次可加性
,可得
。
再证必要性。如果
,那么
这表明
,
,
和
是
的特征值,则有单位向量
使得
,因此
而由
,
可得
,
(即
)。因此
是关于A的特征值
与
的特征值
的共同的特征向量,故
。同理有
,
和
。□
定理3 设
是正规矩阵,
是A的两个特征值,
是B的两个特征值,那么
当且仅当A的特征空间
与B的特征空间
有非空交集,A的特征空间
与B的特征空间
有非空交集,且线段
与线段
平行。
证明 先证充分性。假设A的特征空间
与B的特征空间
有非空交集,则有单位向量
,使得
,
。两式相加得
,这表明
是
的一个特征值,同理可知
也是
的特征值。由命题3和数值域的酉不变性,有
注意此处
表示复平面上连接点
和点
的线段,而
由已知
和
平行,可得
。综上有
。
再证必要性。由于
均为二阶正规矩阵,所以
,
,
均为线段,其中
为
的两个特征值。若
与
不是平行的,那么
一定不是线段,故
与
平行,从而
。存在
,
使得
,
,其中
均为Hermite矩阵。易知
,
,
,再由可加性
成立可知,有
即
。不妨设
,
且有
,
,
,
,由定理1的必要性推导过程可知
,
。下面证明
,任取
的单位特征向量
,则有
,而
即
,则
。类似可证明
,
,
。故可得
,
。 □
基金项目
内蒙古大学校级大学生创新创业训练计划资助项目(项目编号:201911225);内蒙自然科学基金(2019MS01019)资助项目。