We study co-adapted couplings of (canonical hypoelliptic) diffusions on the (subRiemannian) Heisenberg group, that we call (Heisenberg) Brownian motions and are the joint laws of a planar Brownian motion with its Lévy area. We show that contrary to the situation observed on Riemannian manifolds of non-negative Ricci curvature, for any co-adapted coupling, two Heisenberg Brownian motions starting at two given points can not stay at bounded distance for all time $t\geq 0$. Actually, we prove the stronger result that they can not stay bounded in $L^{p}$ for $p\geq 2$.

We also prove two positive results. We first study the coupling by reflection and show that it stays bounded in $L^{p}$ for $0\leq p<1$. Secondly, we construct an explicit static (and in particular non co-adapted) coupling between the laws of two Brownian motions, which provides $L^{1}$-Wasserstein control uniformly in time.

Finally, we explain how the results generalise to the Heisenberg groups of higher dimension.

Dans cet article, nous étudions les couplages co-adaptés de diffusions hypoelliptiques sur le groupe de Heisenberg (sous-riemannien). Ces diffusions canoniques, que nous appelons mouvement brownien sur le groupe de Heisenberg, sont constituées d’un mouvement brownien planaire et de son aire de Lévy. Nous prouvons que, contrairement au cas des variétés riemanniennes à courbure de Ricci positive ou nulle, pour tout couplage co-adapté, deux mouvements browniens partant de deux points donnés ne peuvent rester à distance bornée pour tout temps $t\geq 0$. Nous prouvons en fait le résultat plus fort qu’ils ne peuvent rester bornés dans $L^{p}$ pour $p\geq 2$.

Nous établissons également deux résultats positifs. D’une part, nous étudions le couplage par réflexion et montrons qu’il reste borné dans $L^{p}$ pour $0<p<1$. D’autre part, nous construisons un couplage explicite statique (et en particulier non-adapté) entre les lois de deux mouvements browniens qui donne un contrôle en distance $L^{1}$ de Wasserstein uniforme en temps.

Enfin, nous expliquons comment nos résultats se généralisent aux groupes de Heisenberg de dimension supérieure.