Conditions are given for the continuity and differentiability of solutions of initial value problems
and boundary value problems for the <mml:math alttext="$n^{th} $" id="E1" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:msup><mml:mi>n</mml:mi><mml:mrow><mml:mi>t</mml:mi><mml:mi>h</mml:mi></mml:mrow></mml:msup></mml:math> order finite difference equation, <mml:math alttext="$u\left( {m + n} \right) = f\left( {m,u\left( m \right),u\left( {m + 1} \right), \ldots ,u\left( {m + n - 1} \right)} \right),m \in \mathbb{Z}$" id="E2" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>=</mml:mo><mml:mi>f</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mo>&#x2026;</mml:mo><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>u</mml:mi><mml:mrow><mml:mo>(</mml:mo><mml:mrow><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>+</mml:mo><mml:mi>n</mml:mi><mml:mo>&#x2212;</mml:mo><mml:mn>1</mml:mn></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow></mml:mrow><mml:mo>)</mml:mo></mml:mrow><mml:mo>,</mml:mo><mml:mi>m</mml:mi><mml:mo>&#x2208;</mml:mo><mml:mi>&#x2124;</mml:mi></mml:math>.

International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences

Continuous dependence and differentiation of solutions of finite difference equations

Abstract

Copyright