Abstract

We provide an algebraic setting for cumulants and factorial moments via the classical umbral calculus. Our main tools are the compositional inverse of the unity umbra, this being related to logarithmic power series, and a new umbra here introduced, the singleton umbra. We develop formulae that express cumulants, factorial moments and central moments as umbral functions.

Résumé

Nous etudions les cumulants et les moments factoriels par le calcul ombral classique. Les outils principaux sont l’inverse compositionnel de l’ombre unité, lié à la série formelle logarithmique, et un nouvel ombre, ici présenté, l’ombre singleton. De diverses formules sont données exprimant les cumulants, les moments factoriels et les moments centraux par des fonctions ombral.

MSC: 05A40; 60C05

Article Outline

1. Introduction

2. Umbrae and random variables

2.1. Similar umbrae and dot-product

2.2. Generating functions

2.3. Auxiliary umbrae

3. The singleton umbra

4. The cumulant umbra

4.1. Cumulants of a Poisson r.v.’s

5. The factorial umbra

5.1. Factorial moments of a Poisson r.v.’s

References