Abstract

We define the notion of rational presentation of a complete metric space, in order to study metric spaces from the algorithmic complexity point of view. In this setting, we study some representations of the space C[0,1] of uniformly continuous real functions over [0,1] with the usual norm: ||f||_∞ = Sup{|f(x)|; 0x1}. This allows us to have a comparison of global kind between complexity notions attached to these presentations. In particular, we get a generalization of Hoover's results concerning the Weierstrass approximation theorem in polynomial time. We get also a generalization of previous results on analytic functions which are computable in polynomial time.

Résumé

Nous définissons la notion de présentation rationnelle d’un espace métrique complet comme moyen d’étude des espaces métriques et des fonctions continues du point de vue de la complexité algorithmique. Nous étudions dans ce cadre différentes manières de présenter l'espace C[0,1] des fonctions réelles uniformément continues sur l'intervalle [0,1], muni de la norme usuelle: ||f||_∞ = Sup{|f(x)|; 0x1}. Ceci nous permet de faire une comparaison de nature globale entre les notions de complexité attachées à ces présentations. En particulier, nous obtenons une généralisation des résultats de Hoover concernant le théorème d'approximation de Weierstrass en temps polynomial. Nous obtenons également une généralisation des résultats de Ko, Friedman et Müller concernant les fonctions analytiques calculables en temps polynomial.

Author Keywords: Espaces métriques; Fonctions réelles; Machine de Turing; Circuit booléen; Circuit semilinéaire binaire; Circuit arithmétique; Complexité algorithmique; Théorème d'approximation de Weierstrass; Classe de Gevrey; Séries de ChebyshevAuthor Keywords: Metric spaces; Real functions; Turing machine; Boolean circuit; Binary semi-linear circuit; Arithmetic circuit; Algorithmic complexity; Weierstrass approximation theorem; Gevrey class; Chebyshev series