Local behavior and global existence of positive solutions of auλ⩽−Δu⩽uλ

Abstract

We study the behavior near the origin of $C^2$ positive solutions $u(x)$ of

in a punctured neighborhood of the origin in ${\mathbb{R}}^n$ ($n>2$) where the constants $\lambda$ and $a$ satisfy $\frac{n}{n-2}<\lambda <\frac{n+2}{n-2}$ and $0<a<1$. We also study the existence of $C^2$ positive solutions of ($\ast$) in ${\mathbb{R}}^n$. In both cases we show that changing $a$ from one value in the open interval $(0,1)$ to another value in $(0,1)$ can have a dramatic effect.

Résumé

On étudie le comportement prés de l’ origine des solutions positives de classe $C^2$ $u(x)$ de

dans un voisinage épointé de l’ origine dans ${\mathbb{R}}^n$ ($n>2$) où les constantes $\lambda$ et $a\ast$ satisfont $\frac{n}{n-2}<\lambda <\frac{n+2}{n-2}$ et $0<a<1$. On étudie aussi l’ existence de solutions positives de classe $C^2$ de ($\ast$) dans ${\mathbb{R}}^n$. Dans les deux cas nous montrons que changer la valeur de $a$ dans l’intervalle ouvert $(0,1)$ peut avoir un effet dramatique.