Abstract

In this paper, the computation of a fractional derivative using the Fourier transform and a digital FIR differentiator is investigated. First, the Cauchy integral formula is generalized to define the fractional derivative of functions. Then the fractional differentiation property of the Fourier transform of functions is presented. Using this property, the fractional derivative of a function can be computed in the frequency domain. Next, we develop a least-squares method to design the fractional order digital differentiator. When a signal passes through the designed differentiator, the output will be its fractional derivative. One design example is included to illustrate the effectiveness of this approach. Finally, the designed fractional order differentiator is used to generate a random fractal process which is better than the process obtained by the conventional method.

Zusammenfassung

In diesem Artikel wird die Berechnung der fraktalen Ableitung unter Verwendung der Fouriertransformation und eines digitalen, transversalen Differentiators untersucht. Zunächst wird die Formel des Cauchy-Integrals verallgemeinert, um die fraktale Ableitung von Funktionen zu definieren. Dann wird die fraktale Differenzierungseigenschaft der Fouriertransformation von Funktionen vorgestellt. Mittels dieser Eigenschaft kann die fraktale Ableitung einer Funktion im Frequenzbereich berechnet werden. Als nächstes entwickeln wir eine Kleinste-Quadrate-Methode, um den digitalen Differentiator gebrochener Ordnung zu entwerfen. Wenn ein Signal den entworfenen Differentiator durchläuft, wird das Ausgangssignal seine fraktale Ableitung sein. Ein Entwurfsbeispiel ist angegeben, um die Effektivität diese Methode zu veranschaulichen. Schließlich wird der entworfene Differentiator gebrochener Ordnung verwendet, um einen fraktalen, stochastischen Prozeß zu generieren, der besser als der Prozeß nach herkömmlicher Methode ist.

Résumé

Dans cet article, nous investiguons le calcul d'une dérivée fractionnelle en utilisant la transformation de Fourier et un filtre FIR différentiateur. Tout d'abord, la formule de l'intégrale de Cauchy est généralisée pour définir la dérivée fractionnelle de fonctions. Ensuite la propriété de différentiation fractionnelle de la transformée de Fourier de fonctions est présentée. En utilisant cette propriété, la dérivée fractionnelle d'une fonction peut être calculée dans le domaine fréquentiel. Ensuite, nous développons une méthode des moindres carrés pour concevoir un différentiateur numérique d'ordre fractionnel. Lorsqu'un signal passe au travers du différentiateur ainsi conçu, la sortie sera sa dérivée fractionnelle. Un exemple de conception est inclus pour illustrer l'efficacité de cette approche. Finalement, le différentiateur d'ordre fractionnel ainsi conçu est utilisé pour générer un processus fractal aléatoire meilleur que le processus obtenu par la méthode conventionnelle.

Author Keywords: Fractional derivative; Fourier transform; Differentiator

Article Outline

1. Introduction

2. Definition of fractional derivatives

3. Computation of fractional derivatives using the Fourier transform

3.1. Fourier transform of fractional derivatives

3.2. Computation of fractional derivatives using the Fourier transform

3.3. Extension to the discrete time case

4. Computation of fractional derivatives using the digital differentiator

4.1. Design of fractional digital differentiator

4.2. Computation of fractional derivatives using the digital differentiator

5. Fractal process generation

6. Conclusion

References