Abstract

In some applications the covariance matrix of the observations enjoys a particular symmetry: it is not only symmetric with respect to its main diagonal but also with respect to the anti-diagonal. The standard forward-only sample covariance estimate does not impose this extra symmetry. In such cases one often uses the so-called forward-backward sample covariance estimate. In this paper, a direct comparative study of the relative accuracy of the two sample covariance estimates is performed. An explicit expression for the difference between the estimation error covariance matrices of the two sample covariance estimates is given. This expression shows quantitatively the gain of using the forward-backward estimate compared to the forward-only estimate. The presented results are also useful in the analysis of estimators based on either of the two sample covariances. As an example, spatial power estimation by means of the Capon method is considered. Using a second-order approximation, it is shown that Capon based on the forward-only sample covariance (F-Capon) underestimates the power spectrum, and also that the bias for Capon based on the forward-backward sample covariance is half that of F-Capon.

Zusammenfassung

In einigen Anwendungen besitzt die Kovarianzmatrix von Beobachtungen eine bestimmte Symmetrie: sie ist nicht nur bezüglich ihrer Hauptdiagonalen symmetrisch, sondern auch bezüglich der Antidiagonalen. Die üblichen Vorwärtsschätzer für diskrete Kovarianzen berücksichtigen diese besondere Symmetrie nicht. In derartigen Fällen wird oft die sogenannte Vorwärts-Rückwärts Kovarianzschätzung der Abtastwerte benutzt. In dieser Arbeit wird eine direkte, komparative Untersuchung über die relative Genauigkeit der Kovarianzschätzungen durchgeführt. Es wird ein expliziter Ausdruck für die unterschiedlichen Fehler bei Schätzung der Kovarianzmatrizen angegeben. Dieser Ausdruck zeigt quantitativ die Überlegenheit der Vorwärts-Rückwärts Schätzung gegenüber der einfachen Vorwärtsschätzung. Die vorgestellten Resultate sind darüberhinaus nützlich zur Untersuchung der Zwei-Abtastwerte Kovarianz. Als Beispiel betrachten wir die spektrale Leistungsschätzung im Sinne der Methode von Capon. Unter Benutzung einer Approximation zweiter Ordnung wird gezeigt, daß Capon's Methode, die auf der Vorwärts Kovarianzschätzung basiert (F-Capon) das Leistungsspektrum unterschätzt und daß das Bias für Capon's Methode, die auf der Vorwärts-Rückwärts-Schätzung basiert, um die Hälfte geringer alsdas der F-Capon Methode ist.

Résumé

Dans certaines applications la matrice de covariance des observations présente une symétrie particuliére: elle n'est pas seulement symétrique par rapport à sa diagonale principle, mais aussi par rapport à l'anti-diagonale. L'estimation classique avant de la covariance des échantillons n'impose pas cette symétrie supplémentaire. Dans de tels cas, on utilise souvent ce qu'on appelle l'estimation avant et arrière de la covariance des échantillons. Dans cet article, nous effectuons une analyse comparative directe des deux estimations de la covariance des échantillons. Nous donnons une expression explicite de la différence entre les matrices de covariance des erreurs d'estimations des deux estimateurs de la covariance des échantillons. Cette expression montre quantitativement quel est le gain obtenu par l'utilisation de l'estimateur avant et arrière comparé à l'estimateur avant. Les résultats présentés sont également utiles pour l'analyse des estimateurs basés sur chacune des deux covariances des échantillons. A titre d'exemple, nous considérons l'estimation de la puissance spatiale au moyen de la méthode de Capon. En utilisant l'approximation du deuxième ordre, nous montrons que la méthode de Capon basée seulement sur la covariance d’échantillons avants (F-Capon) sous-estime la puissance spectrale, et que le biais pour la méthode de Capon basée sur la covariance des échantillons avants et arrières est la moitié de celle de la méthode F-Capon.

Author Keywords: Forward-only sample covariance; Forward-backward sample covariance; Performance analysis; Centro-Hermitian matrix; Direction estimation; Capon method; Maximum likelihood method

Article Outline

1. Introduction

2. Motivation

3. ML estimation of R

4. Analytical study of and

5. Forward-only and forward-backward Capon

6. Numerical examples

6.1. Example 1

6.2. Example 2

7. Conclusions

References