Abstract

Certain equivalences between the Godard and Shalvi–Weinstein schemes have been previously noted under special circumstances. We present here a simple proof for real signals that an equivalence can be established assuming little more than stationarity to fourth order of the equalizer input; the exact nature of the input sequence proves otherwise irrelevant to the validity of the equivalence. The equivalence also carries over to complex signals, but subject to more restrictive circularity conditions. In a communication context, the equivalence implies that many performance issues, such as susceptibility to local minima, the ability (or lack thereof) to open the eye, or mean performance degradations due to channel noise and/or source correlation properties, are common to the two, even when applied with nonlinear channels. Our equivalence also indicates a simple modification to the Godard algorithm to render it applicable to leptokurtic sources.

Zusammenfassung

Gewisse Äquivalenzen der Godard-Methode und der Shalvi–Weinstein-Methode wurden bereits früher unter speziellen Bedingungen festgestellt. Wir zeigen hier auf einfache Weise, daß bei reellwertigen Signalen eine Äquivalenz hergestellt werden kann, ohne viel mehr als Stationarität bis zur vierten Ordnung des Entzerrereingangssignals anzunehmen. Die detaillierten Eigenschaften des Eingangssignals sind ansonsten für die Gültigkeit der Äquivalenz unerheblich. Die Äquivalenz läßt sich weiters auf komplexwertige Signale übertragen, allerdings unter restriktiveren Zirkularitätsbedingungen. In einem übertragungstechnischen Kontext impliziert diese Äquivalenz, daß viele Aspekte der Leistungsfähigkeit – wie die Empfindlichkeit gegenüber lokalen Minima, die Fähigkeit (oder der Mangel derselben), das Augendiagramm zu öffnen oder die Verringerung der mittleren Leistungsfähigkeit durch Rauschen am Kanal und/oder Korrelation der Quellen – auf beide Verfahren zutreffen, sogar bei Anwendung auf nichtlineare Kanäle. Unsere Äquivalenz weist auch auf eine einfache Modifikation des Godard-Algorithmus hin, durch welche dieser auf leptokurtische Quellen anwendbar wird.

Résumé

Certaines équivalences entre les schémas de Godard et de Shalvi–Weinstein ont été remarquées dans le passé, sous certaines conditions. Pour des signaux réels, on présente ici une démonstration simple du fait que qu’une équivalence peut être établie en adoptant des hypothèses un peu plus fortes que la stationnarité à l’ordre quatre de l’entrée de l’égaliseur; la nature exacte de la suite d’entrée n’est par ailleurs pas pertinente en ce qui concerne cette équivalence. L’équivalence s’étend aussi aux signaux complexes, mais sous des hypothèses plus restrictives de circularité. Dans un contexte de communications, cette équivalence implique que beaucoup de résultats sur les performances, comme la sensibilté aux minima locaux, la capacité (ou le manque de capacité) à ouvrir l’oeil, ou les dégradations de performances moyennes dues au bruit de canal et/ou aux propriétés de corrélation des sources, sont communs aux deux schémas, même lorsqu’ils sont appliqués à des canaux non linéaires. Notre équivalence indique aussi une simple modification à apporter dans l’algorithme de Godard pour le rendre applicable aux sources leptokurtiques.

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