Monte Carlo realization of Kadanoff block transformation in the 2d plane-rotator model

https://doi.org/10.1016/0378-4371(81)90229-6Get rights and content

Abstract

The method combining Monte Carlo (MC) simulation and renormalization-group analysis has been carried out by several workers, and has turned out to be powerful in the study of critical phenomena. We propose a quite new scheme for realizing the Kadanoff block transformation by using MC simulation. The essential feature is to use a random selection of a spin out of each block to assign the block spin in conformity to the random nature of the MC simulation.

We consider a system of N × N spins on a square lattice, and divide it into blocks of side l so that l × l spins are contained in a block; l = 1, 2, 4, …, [N/2]. We then perform the standard MC simulation at a temperature T. After the system has come to equilibrium, the simulation provides a sequence of configurations from which useful information can be extracted. At each configuration, we assign block spins by picking a spin at random out of each block. We thus obtain a sequence of configurations of block spins from which correlation functions between block spins, g(l, T), can be calculated. These correlation functions reflect the transformation property of the Kadanoff blocks, and provide a convenient basis for the renormalization group analysis.

This program was carried out in the 2d plane-rotator model. The calculation was made for square arrays of 1136(34 × 34) and 4536(66 × 66) spins with periodic boundary conditions. The experiment indicated that the correlation functions have four different temperature regions; I: 0 ⩽ T < 0.35, II: 0.35 ⪅ T < 0.45, III: 0.45 ⪅ T < 0.51, IV: 0.51 ⩽ T. (Temperature is defined in units of the transition temperature predicted from the mean-field theory.) The correlation functions show power-law decay in I and II. The decay factor is in agreement with the spin-wave prediction in I, but deviates slightly in II. In III the correlation functions show a singular behavior. In IV the correlation functions show exponential decay. The correlation length derived from them has a singular temperature dependence as predicted by Kosterlitz, and becomes infinite at 0.47. The specific heat exhibits a peak at 0.51. It is pointed out that all these results are closely related to the behavior of vortices.

Résumé

La méthode combinant la simulation Monte Carlo (MC) et l'analyse selon le groupe de renormalisation a été employée par plusieurs auteurs et s'est révélée puissante dans l'étude des phénomènes critiques. Nous proposons une façon de procéder tout à fait nouvelle pour réaliser la transformation de bloc de Kadanoff en utilisant la simulation Monte Carlo, où l'étape essentielle est la sélection d'un spin au hasard dans chaque bloc, afin que l'assignation d'un spin au bloc soit en conformité avec la nature aléatoire de la simulation MC.

Nous considérons un système de N × N spins sur un réseau carré et nous le divisons en blocs de côte l contenant chacun l × l spins; l = 1, 2, 4, …, [N/2]. Nous effectouns alors la simulation Monte Carlo standard à température T. Après que le système est parvenu à l'équilibre, la simulation fournit une suite de configurations dont on peut extraire des renseignements utiles. A chaque configuration nous assignons des spins de bloc en prenant un spin au hasard dans chaque bloc. Nous obtenons ainsi une suite de configurations de spins en bloc d'où l'on peut calculer des fonctions de corrélation g(l, T) entre les blocs de spins. Ces fonctions de corrélation reflétent la propriéte de transformation des blocs de Kadanoff et fournissent une base commode pour l'analyse selon le groupe de renormalisation.

Ce programme a été réalisé dans le modéle rotateur plan 2d. Le calcul a été fait pour des arrangements carrés de 1136(34 × 34) et 4536(66 × 66) spins avec conditions aux limites périodiques. L'expérience a indiqué que les fonctions de corrélation comportent quatre régions différentes de température; I: 0 ⩽ T < 0.35, II: 0.35 ⪅ T < 0.45, III: 0.45 ⪅ T < 0.51, IV: 0.51 ⩽ T. (La température est définie en prenant comme unité la température de transition prédite par la théorie du champ moyen.) Les fonctions de corrélation décroissent suivant une loi de puissance en I et II. Le facteur de décroissance est en accord avec la prédiction d'onde de spin en I, mais s'en écarte dans II. Dans III les fonctions de corrélation se comportent de façon singulière. Dans IV la fonction de corrélation présente une décroissance exponentielle. La longueur de corrélation dérivée de ces fonctions dépend de la température d'une façon singuliére, conformément à la prédiction de Kosterlitz, et devient infinie à 0.47. La courbe de la chaleur spécifique présente un pic à 0.51. On signale la relation étroite qui existe entre tous ces résultats et la comportement des tourbillons.

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