Abstract

This paper provides a time-domain feedback analysis of the robustness performance of Gauss-Newton recursive methods that are often used in identification and control. These are recursive estimators that also involve updates of sample covariance matrices. Several free parameters are included in the filter descriptions while combining the covariance updates with the weight-vector updates. One of the contributions of this work is to show that by properly selecting the free parameters, the resulting filters can be made to impose certain bounds on the error quantities, thus resulting in desirable robustness properties (along the lines of H_∞ filter designs). It is also shown that an intrinsic feedback structure, mapping the noise sequence and the initial weight error to the a priori estimation errors and the final weight error, can be associated with such schemes. The feedback configuration is motivated via energy arguments and is shown to consist of two major blocks: a time-variant lossless (i.e., energy preserving) feedforward path and a time-variant feedback path. Emphasis is further given to filtered-error variants that give rise to dynamic time-variant feedback loops rather than memoryless loops. Such variants arise in IIR modeling.

Zusammenfassung

Dieser Artikel präsentiert eine Robustheitsanalyse im Zeitbereich von rekursiven Gauss-Newton Verfahren wie sie oft bei der Systemidentifikation und im regelungstechnischen Bereich auftreten. Es handelt sich hierbei um rekursive Schätzer, die implizit die Zeitkovarianzmatrix des Anregungssignals invertieren. Die Filterbeschreibung beinhaltet verschiedene freie Parameter sowohl für die Bestimmung der Parameterschätzwerte als auch der Zeitkovarianzmatrizen. Ein Beitrag dieser Arbeit besteht darin zu zeigen, daβ bei sorgfältig gewählten freien Parametern die Fehlergröβen des resultierenden Filters beschränkt bleiben, wodurch die gewünschte Eigenschaft der Robustheit (gemäβ der H_∞ Terminologie) erzielt wird. Auβerdem wird gezeigt, daβ für diese Schätzverfahren stets eine rückgekoppelte Struktur existiert, welche die Störsequenz und den Initialschätzfehler auf die a priori Fehler abbildet. Die Rückkopplungsstruktur wird durch Energiegröβen motiviert und besteht aus zwei Blöcken: einem Zeitvarianten, verlustfreien (also energieerhaltenden) Vorwärtspfad und einem Zeitvarianten Rückwärtspfad. Ferner werden Algorithmusvarianten mit gefiltertem Fehler beschrieben, die statt zu einer gedächtnisfreien zu einer dynamischen Rückkopplung führen. Solche Varianten treten bei der Modellierung von IIR Filtern auf.

Résumé

Cet article fournit une analyse par rétroaction temporelle des performances en termes de robustesse des méthodes récursives de type Gauss-Newton qui sont souvent utilisées en identification et contrôle. Ce sont des estimateurs récursifs qui impliquent également des mises à jour des matrices de covariance obtenues à partir des échantillons. Plusieurs paramètres libres sont inclus dans les descriptions des filtres lorsque les mises à jour de la covariance sont combinées avec les mises à jour du vecteur de coefficients. Une des contributions de ce travail est de montrer que par une sélection appropriée des paramètres libres, les filtres résultants peuvent être capables d'imposer certaines limites sur les erreurs, ce qui donne comme résultat des propriétés souhaitables de robustesse (selon la terminologie des filtres F_∞). Il est également montré qu'une structure de rétroaction intrinsèque, faisant correspondre à la séquence de bruit et à l'erreur initial sur les coefficients de pondération les erreurs d'estimation a priori et l'erreur finale sur les coefficients de pondération, peut être associées à de tels algorithmes. La configuration de rétroaction est justifiée par des arguments sur l'énergie et est montrée consister en deux blocs principaux: un chemin direct variant dans le temps et sans perte (conservant l'énergie) et un chemin de rétroaction variant dans le temps. L'accent est également mis sur les variantes à erreur filtrée qui donnent lieu à des boucles de rétroaction variant dans le temps dynamiques plutôt qu'à des boucles sans mémoire. De telles variantes apparaissent en modélisation IIR.

Author Keywords: Adaptive Gauss-Newton filters; Filtered-error algorithms; Feedback connection; l₂-stability; The small gain theorem; Contraction mapping; Passivity relations; Error bounds

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*1 This material was based on work supported by the National Science Foundation under Award No. MIP-9409319. Any opinions, findings, and conclusions or recommendations expressed in this publication are those of the author(s) and do not necessarily reflect the views of the National Science Foundation. The work of M. Rupp was also supported by a scholarship from DAAD (German Academic Exchange Service) as well as the scientifical division of NATO (Wissenschaftsausschuβ der NATO).