Résumé

Le problème de Graetz pour un écoulement laminaire entièrement développé dans des canaux rectangulaires horizontaux avec flux thermique uniforme à la paroi est élargi en incluant l'effet des forces d' Archimède dans l'analyse pour un fluide à grand nombre de Prandtl. On présente une formulation générale valable pour tous les nombres de Prandtl et on aborde le cas limite des grands nombres de Prandtl par une méthode numérique. Les développements typiques du profil de température, de la température pariétale et de l'écoulement secondaire dans la région d'entrée thermique sont présentées dans le cas d'un canal carré γ = 1. Les variations du nombre de Nusselt local sont présentées pour les rapports de forme γ = 0.2 : 0.5: 1 ; 2; 5 et avec le nombre de Rayleigh pris comme paramètre. A cause de l'effet d'entrée et de l'écoulement secondaire, un nombre de Nusselt minimal apparaît à quelque distance de l'entrée, dépendant de la valeur du nombre de Rayleigh. Ce comportement est semblable à celui observé dans la région d'entrée thermique lorsqu'apparaît la transition laminaire-turbulent de l'écoulement. On voit que l'influence du nombre de Rayleigh diminue la longueur d'entrée thermique et que la solution de Graetz, laquelle néglige les forces d'Archimède, n'est applicable que lorsque le nombre de Rayleigh est inférieur à 10³. Une étude de l'effet pratique du grand nombre de Prandtl sur les résultats de transfert thermique dans le développement hydrodynamique et thermique complet, révèle que les résultats présents de transfert thermique sont valables pour un nombre de Prandtl variant depuis 10 jusqu'à l'infini.

Zusammenfassung

Das Graetz-Problem für eingelaufene laminare Strömung in horizontalen rechteckigen Kanälen mit gleichmässiger Wärmestromdichte an der Wand wird erweitert im Hinblick auf den Einfluss der Auftriebskräfte bei Fluiden mit grosser Prandtl-Zahl. Eine allgemeine Formulierung wird vorgestellt die für alle Prandtl-Zahlen gültig ist. Der Grenzfall grosser Prandtl-Zahlen wird durch eine numerische Methode angenähert. Es werden die typischen Entwicklungen der Temperaturprofile, der Wandtemperatur, und der Sekundärströmung in der thermischen Einlaufstrecke dargestellt für den Fall des quadratischen Kanals γ = 1. Für die Scitenverhältnisse γ = 0,2; 0,5; 1 : 2; und 5 werden örtliche Nusseltzahlen angegeben mit der Rayleigh-Zahl als Parameter. Die Einflüsse am Einlauf und die der Sekundärströmung bewirken ein Minimum der Nusselt-Zahl stromabwärts vom Eintritt abhängig von der Grosse der Rayleigh-Zahl. Dieses Verhalten ist ähnlich dem im thermischen Einlaufgebiet beim Umschlag von laminarer in turbulente Strömung. Der Einfluss der Rayleigh-Zahl liegt in Richtung einer Verkürzung der thermischen Einlauflänge. Die Graetz-Lösung, bei Vernachlässigung der Auftriebskräfte, ist nur anwendbar, wenn die Rayleigh-Zahl kleiner als etwa 10³ ist. Untersucht man die praktischen Folgen grosser Prandtl-Zahlen auf den Wärmeübergang bei hydrodynamisch und thermisch voll ausgebildeter Strömung, so erkennt man, dass die vorliegenden Wärmeübergangsergebnisse gültig sind für Prandtl-Zahlen von 10 bis unendlich.