The inversion of combinatorial sums is a fundamental problem in algebraic combinatorics. Some combinatorial sums, such as a_n = Σ_kd_n,kb_k, cannot be inverted in terms of the orthogonality relation because the infinite, lower triangular array P = {d_n,k}'s diagonal elements are equal to zero (except d_0,0). Despite this, we can find a left-inverse ̄P such that PP̄ = I and therefore are able to left-invert the original combinatorial sum, and thus obtain b_n = Σ_kd̄_n,ka_k.

Résumé

L'inversion des sommes combinatoires est un problème fondamental dans l'algèbre combinatoire. Certaines sommes combinatoires, par exemple a_n = Σ_kd_n,kb_k, ne peuvent pas être inverties selon la rélation d'orthogonalité, parce que les éléments sur la diagonale de la matrice triangulaire inférieure P = {d_n,k} sont nuls (sauf d_0,0). Malgré cela, on peut bien souvent définir une matrice left-inverse P̄ telle que PP̄ = I et, par conséquent, on peut left-invertir la somme combinatoire d'origine, en obtenant b_n = Σ_kd̄_n,ka_k.