On the regularity of the blow-up set for semilinear heat equations

Abstract

We consider $u(x,t)$ a blow-up solution of $u_t=\Delta u+|u{|}^{p-1}u$ where $u:R^N\times \left[0,T\right)\to R$, $p>1$, $(N-2)p<N+2$ and either $u(0)⩾0$ or $(3N-4)p<3N+8$. The blow-up set $S\subset R^N$ of $u$ is the set of all blow-up points. Under a nondegeneracy condition, we show that if $S$ is continuous, then it is a $C^1$ manifold.

Résumé

On considère $u(x,t)$ une solution singulière de $u_t=\Delta u+|u{|}^{p-1}u$ où $u:R^N\times \left[0,T\right)\to R$, $p>1$, $(N-2)p<N+2$ et soit $u(0)⩾0$, soit $(3N-4)p<3N+8$. On définit l'ensemble singulier $S\subset R^N$ de $u$ comme étant l'ensemble de tous les points d'explosion. Sous une certaine condition de non dégénérescence, on montre que si $S$ est continu, alors c'est une variété de classe $C^1$.