Dressing methodvs. classical Darboux transformation

Summary

In this paper we recall some of the essential properties of the classical Darboux transformation and establish its equivalence with the dressing method. In this way we can elucidate and co-ordinate different notions existing in the literature, like Darboux matrix, Darboux transformation and Bäcklund transformation, which, although being different, are nevertheless related to one another. As an example we are then able to construct a strict analogue of the classical Darboux transformation for the Zakharov-Shabath-AKNS spectral problem.

Riassunto

In questo articolo si richiamano le proprietà essenziali della trasformata di Darboux classica e si stabilisce la sua equivalenza col metodo del «dressing» nell'ambito della costruzione di soluzioni solitoniche per equazioni integrabili alle derivate parziali. Come esempio si costruisce l'analogo della trasformata di Darboux classica per il problema spettrale di Zakharov-Shabat-AKNS. Nel lavoro si cerca di unificare differenti nozioni esistenti in letteratura, quali la matrice di Darboux, le trasformate di Bäcklund e la trasformata di Darboux.

Резюме

В этой статье мы анализируем некоторые существенные свойства классического преобразования Дарбу и устанавливаем эквивалентность этого преобразования с методом одевания. Таким образом, мы можем объяснить и согласовать различные обозначения, существующие в литературе, такие как, матрица Дарбу, преобразование Дарбу и преобразование Бэклунда, которые, хотя и являются различными, тем не менее связаны друг с другом. В качестве примера, мы конструируем аналог классического преобразования Дарбу для спектральной проблемы Захарова-Шабата-A.K.N.S.