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Quelques propriétés globales des espaces de Riemann

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Commentarii Mathematici Helvetici

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Literatur

  1. On trouve un exposé sur le problème qui est traité ici et sur les principaux résultats obtneus dans:H. Hopf: Differentialgeometrie und topologische Gestalt; Jahresbericht der D.M.V., 41. Band (1932), 209–229.

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  2. E. Cartan: Leçons sur la géometrie des espaces de Riemann (Paris, 1928). (Nous abrégerons «Leçons»). Les éléments de topologie, dont nous pourrions avoir besoin, se trouvent également expliqués dans les «Leçons». Les désignations sont les mêmes. (Nous appelons groupe fondamental, ce qui dans les «Leçons» est appelé groupe de connexion.)

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  4. W. Blaschke: Vorlesung über Differentialgeometrie I. (Berlin, 1930), § 100. Dans les démonstrations du théorème de Bonnet antérieures à celles données parH. Hopf etW. Rinow 3) le fait que l'espace est fermé fait partie des hypothèses. On le remplace par l'hypothèse que la surface est complète.

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  7. J. L. Synge: The first and second variations of the length in Riemannian space. Proceedings of the London math. Society25 (1926). Nous reproduisons cet article à quelques différences près dans l'introduction des coordonnées.

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  14. “Leçons”, Note III.

  15. „Leçons”, chapitre IX.

  16. „Leçons”, p. 262.T. Levi-Cività: Sur l'écart géodésique. Math. Annalen 97 (1926).

  17. T. Levi-Cività: Sur l'écart géodésique. Math. Annalen 97 (1926) p. 227.

  18. „Leçons”, p. 186.

  19. Ces propriétés pourraient aussi être tirées de théorèmes exposés dans les „Leçons”, p. 196.

  20. W. Rinow: Über Zusammenhänge der Differentialgeometrie im Großen und im Kleinen. Mathematische Zeitschrift 35 (1932). Rinow a démontré le théorème pour les surfaces, Meyers l'a généralisé pour les variétés.

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  22. Voir, à partMyers, 3).Levi-Cività 16) Sur l'écart géodésique. Math. Annalen 97 (1926). où l'on trouve des compléments sur le sujet traité ici.

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  23. Ces résultats sur les espaces à pôles ont été exposés parRinow 21) etMyers 3).

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  25. Blaschke: Differentialgeometrie I, § 57 (Berlin, 1930), nous appelonsG 2 ce que Blaschke désigne parG.

  26. Voir par exemple „Leçons” p. 234.

  27. Il ne semble pas queSynge ait démontré le théorème 13.

  28. La démonstration de Cohn-Vossen 12) diffère un peu de la nôtre. Cohn-Vossen se sert de deux lemmes: 1. Tout espace qui possède plus d'une extrémité possède une „droite géodésique” (ligne géodésique qui représente toujours le plus court chemin entre deux quelconques de ses points). 2. Dans un espace de courbure partout positive, il n'existe pas de droite géodésique. On construit la droite géodésique du lemme 1 par un procédé de convergence, le lemme 2 est une conséquence immédiate de notre lemme 1.

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  1. Zurich

    Alexandre Preissmann

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  1. Alexandre Preissmann
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Preissmann, A. Quelques propriétés globales des espaces de Riemann. Commentarii Mathematici Helvetici 15, 175–216 (1942). https://doi.org/10.1007/BF02565638

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