General relativistic interpretation of some spinor wave equations

Summary

The non-linear conform-invariant spinor wave equation proposed in an earlier paper is given a simple geometrical interpretation within the frame of general relativity. At each point of a conformal space-time manifold, an orthogonal frame of reference is defined, this frame being associated with a 4-spinorψ. It is shown that if the contracted torsion tensor ι_α relative to the frame vanishes (as in the case of a co-ordinate transformation) and the pseudo-vectorL _α derived from the same torsion tensor remains constant and space-like, then the associated 4-spinorψ satisfies just the above mentioned wave equation which, in turn, determines the orthogonal frame of reference at every space-time point to within a conformal transformation of the co-ordinate system. In particular, if the pseudo-vectorL _α also vanishes one obtains Dirac’s equation for a particle of rest mass zero. In a discussion of the physical meaning of the orthogonal frame of reference, the time-like basis vector and one of the space-like basis vectors are respectively related to the current density and the spin density 4-vectors associated with the wave equation.

Riassunto

Si ha una semplice interpretazione geometrica nel quadro della relatività generale dell’equazione d’onda spinoriale non lineare conformemente invariante proposta in un precedente lavoro. In ogni punto di un universo spazio-temporale conforme si definisce un sistema di riferimento ortogonale associato con un 4-spinoreψ. Si dimostra che il tensore torsionale contratto ι_α si annulla (come nel caso di una trasformazione di coordinate) e il pseudovettoreL _α derivato dallo stesso tensore torsionale rimane costante e spaziale, il 4-spinoreψ associato soddisfa esattamente la suddetta equazione d’onda che, a sua volta, determina in ogni punto dello spazio-tempo, a meno di una trasformazione conforme, il sistema ortogonale di riferimento. In particolare, se anche il pseudovettoreL _α si annulla, si ottiene l’equazione di Dirac per una particella di massa a riposo nulla. In una discussione del significato fisico del sistema ortogonale di riferimento, il vettore base temporale e uno dei vettori base spaziali sono rispettivamente in rapporto con la densità di corrente e i 4-vettori di densità spinoriale associati con l’equazione d’onda.