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Literatur
VoirSchwarz, lettre àGenocchi. Cette lettre est reproduîte dans l'édition lithographiée duCours professé à la Facullè des sciences par Ch. Hermite, pendant le second semestre de 1882. (Second tirage, page 25.) — Voir aussiPeano,Atti della Accademia dei Lincei, 1890.
Voir au sujet de ces définitionsSchœnflies,Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung, 1900.
American Journal, 1897.
Scheeffer,Acta Mathematica, 5;Jordan,Cours d'Analyse.
Mathematische Annalen, Bd. 15, pag. 287 etActa Mathematica, 6.
Nouvelles Annales de Mathématiques. Août 1900.
Leçons sur la théorie des fonctions, pages 46 à 50.
Jordan, Tome I. —J. Hadamard,Géométrie Elémentaire.
Jordan,Cours d'Analyse, 2ème Edition, Tome I, pages 90 à 100.
C'est ainsi que M.r Hadamard pose le problème des aires pour les polygones. (Géométrie Elémentaire, NoteD.)
Il existe des courbes non quarrables puisqu'il existe des courbes passant par tous les points d'un carré. Pour former une courbe non quarrable, sans point multiple il suffit de modifier légèrement la méthode qu'emploie M.r Hilbert pour définir une courbe passant par tous les poínts d'un carré (Mathematische Annalen, Bd. 38 ouPicard,Traité d'Analyse, 2.e Edition, Tome I). On remplacera chacun des carrés qui figure dans la définition de M.r Hilbert par un polygone intérieur à ce carré, d'aire assez grande, choisi de façon que les frontières de deux de ces polygones n'aient en commun que le sommet, s'il existe, par lequel la courbe passe de l'un dans l'autre.
Darboux,Mèmoire sur les fonctions discontinues. Annales de l'Ecole Normale, 1875.
Riemann,Sur la possibilité de reprèsenter une fonction par une série trigonométrique.
Le cas particulier le plus intéressant de ce théorème, celui oùf et lesf i sont des fonctions continues, a déjà été obtenu, à l'aide de considérations toutes différentes par M.r Osgood dans son Mémoire sur la convergence non uniforme (American Journal, 1894).
VoirDarboux,Mémoire sur les fonctions discontinues.
M.r Volterra a le premier donné effectivement un exemple de ces fonctions (Giornale de Battaglini, t. XIX, 1881). Cet exemple est reproduit plus loin.
Nous nous servirons ici de quelques unes des propriétés de ces fonctions (VoirJordan,Comptes Rendus de l'Académie des Sciences 1881 etCours d'Analyse 2ème Edition, tome I). La plupart de ces propriétés sont reprises dans le chapitre suivant, de sorte que les paragraphes 30 à 35 pourraient être mis dans ce chapitre. L'ordre adopte dans le texte permet de réunir tout ce qui a trait à la recherche des fonctions primitives,
Comparer cette définition avec celle que donne M.r Jordan de l'intégrale définie d'une fonction non bornée.Cours d'Analyse, 2.e Edition, Tome II, p. 46 à 94.
VoirDini:Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabili reali.
Ce problème a un sens; c'est-à-dire que toutes les fonctions qui ont un même nombre dérivé donné ne diffèrent que par une constante (Volterra.Sui principii del Calcolo Integrale. Giornale de Battaglini, XIX).
VoirLebesgue.Sur l'approximation des fonctions. (Bulletin des Sciences Mathématiques, 1898.)
VoirJordan (loc. cit.) §§ 56, 57, 58.
Ces mèthodes sont analogues à celles de M.r Drach. (Essai sur une théorie générale de l'Intégration — Introduction à l'Etude de la Théorie des nombres et de l'Algèbre supérieure.) Voir à ce sujet la note 1, page 48 de l'ouvrage de M.r Borel. Voir aussiHadamard,Géométrie Elémentaire, lère Partie, NoteD.
Atti della Reale Accademia dei Lincei. Rendiconti 1900, 1.o Semestre.
Les conséquences de cette définition ont été particulièrement étudiées parLudwig Scheeffer (Acta Mathematica, tome V) et par M.r Jordan dans la seconde édition de son cours d'Analyse. Voir aussiStudy.Mathematische Annalen, XLV.
Si l'on considère la longueur comme fonction de la courbe, on peut dire que la fonction est partout égale à son minimum ou encore semi-continue inférieurement (Baire, loc. cit.).
VoirJordan, (loc. cit.), page 318.
On peut dans cet énoncé supprimer le motcontínues, (voir à ce sujetJordan, loc. cit.).
Atti della Reale Accademia dei Lincei, Rendiconti 1890.
Voir au sujet de ces essais de définition la note déjà citée de M.r Peano.
Dans un article récent (Ueber die Begriffe Länge, Oberfläche und Volumen — Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 1901) M.r Minkowski adopte pour la longueur et l'aire les définitions suivantes. De chaque point d'une courbeC comme centre traçons une sphère de rayonr l'ensemble des points intérieurs à l'une au moins de ces sphères est mesurable, soitV(r) sa mesure; la limite, si elle existe, du rapportV(r)/πr 2 quandr tend vers zéro est dite la longueur deC. De même siV(r) est la mesure de l'ensemble des points dont la distance à l'un des points d'une surfaceS est inférieure àr, la limite deV(r)/2r définit l'aire deS.
Loc. cit.
Voir chapitre VI.
Chapitre V.
On le verrait en reprenant les raisonnements du paragraphe 48.
Annali di Matematica, 2.c Série, Tome VII. Cette démonstration est reproduite avec les mêmes notations dans le Tome I desLeçons sur la théorie des Surfaces de M.r Darboux et dans lesTraités d'Analyse de MM.rs Jordan etPicard.
Dans sa note desNouvelles Annales, M.r Hilbert n'a exposé sa méthode pour établir l'existence de l'élément limite que sur deux exemples particuliers. Il me semble bien que la méthode qui ressort de ces deux exemples est celle du § 95. En tous cas les résultats de ce paragraphe suffisent à démontrer l'existence des éléments limites dans les deux exemples de M.r Hilbert.
Pourf=1 on retrouve l'un des exemples que traite M.r Hilbert.
V, 4.me Cahier du tome VII.
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Lebesgue, H. Intégrale, Longueur, Aire. Annali di Matematica, Serie III 7, 231–359 (1902). https://doi.org/10.1007/BF02420592
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02420592